Устойчивость линеаризованной системы

[MestnyBomzh]

Добрый вечер. У меня есть такой вопрос: пусть после линеаризации системы неоднородных дифф уравнений получилось так, что $\lambda_j = a_j i$, то есть все собственные числа чисто мнимые. Это точка равновесия типа центр. Такая точка усточива, однако, утверждается, что не факт, что для изначальной системы эта точка будет устойчивой. Аргументируют это тем, что следующий член ряда Тейлора начинает играть вескую роль. Мне непонятно почему это так, ведь устойчивость по Ляпунову говорит про окрестности, то есть, можно выбрать такую окрестность стац точки, что в этой окрестности линейный член перебьет квадратичный и мы получим наши центры, то есть точка и будет устойчивой

[ИСН]

В окрестности, где линейный член перебивает квадратичный, система крутится в цикле вокруг центра. За один оборот линейные члены в точности компенсируют друг друга. А квадратичные-то нет!

[MestnyBomzh]

ИСН
а компенсируют они друг друга из-за $Re \lambda_j= 0$? То есть первые обороты будут окей, а последующие могут выйти за окрестность?

[ИСН]

Компенсируют они друг друга из-за того, что вот так получается. Не знаю, что для Вас первично. Возьмите какую-нибудь линейную систему с известным точным решением и посмотрите, как это происходит.

[MestnyBomzh]

ИСН
Вот беру я систему:

$$\begin{cases} \dot{x} =y& \\ \dot{y} =-x \end{cases}$$

Получаю окружности. Это понятно, точка устойчива. А вот если взять нелинейную систему, которая линеаризуется к данной:

$$\begin{cases} \dot{x} =\sin(y)& \\ \dot{y} =-x \end{cases}$$

Я решил эту систему численно в матлабе и получил что-то такое:

Если увеличить время, то видно, что траектория наматывается не по идеальной окружности, но, все же, по окружности:
Но это, все же, случай, когда устойчива точка. А Вы не могли бы подсказать пример, когда будет неустойчива?

[ИСН]

Ну введите какое-нибудь возмущение, чтобы оно накапливалось, что ли.

$$\begin{cases} \dot{x} =y + 0.01x^3\\ \dot{y} =-x+0.01y^3 \end{cases}$$

[MestnyBomzh]

Да, получилось, вижу. Спасибо

[ИСН]

Если отмотать время ещё на один оборот или даже меньше, можно увидеть весьма драматический момент. "Открыл дверь, а они как ломанулись."

[MestnyBomzh]

Вы про эти моменты, да

[ИСН]

Ага.
Ну да это всё лирика, нас же интересовало поведение в окрестности центра. А там сами видите что. И это можно сделать поправкой любого порядка. То есть нельзя сказать "всё решают первые 2 или там 3 производные". Не всегда.