Поиск противоречия по модулю (x^3)

[ananova]

Забудем всё что было здесь написано, включая возможные неточности, и докажем, на мой взгляд, - важное свойство соседних кубов .

Предположим, что есть пара взаимно простых натуральных чисел ${\color{blue}x}$ и $y$, являющихся решением:

$$\boxed{{\color{blue}x^3}+y^3=(y+1)^3} \eqno (1)$$

Здесь соседними кубами являются $y^3$ и $(y+1)^3$.

Пусть $\xi$, такое что

$$\xi^3\equiv 1 \pmod{x^3} \eqno (2)$$

Докажем несправедливость следующей системы для натурального $x'<x$:

$$\begin{cases}\boxed{x'^3+y'^3 =(y'+1)^3}\eqno (1.1)\\ \\x^3 \equiv 1 \pmod{x'^3} \eqno (2.1) \end{cases}$$

Для сравнения $(2)$ не сложно найти: $\xi=3y^2-1 $. По аналогии, для сравнения $(2.1)$ $x=3y'^2-1$
Как видим, $\xi-1$ не делится на $3$. В тоже время, мы помним, что $(x-1)=\sqrt[3]{3(x+y)(y-x)(y+1-x)}$ делится на $3$. В таком случае следует, что $y'$ не является натуральным, т.к. $x-1=3y'^2-2$.
Объединим результаты:

$$\sqrt[3]{3(x+y)(y-x)(y+1-x)}=3y'^2-2 \eqno (3)$$

Таким образом, не существует определенного здесь $x'$ со свойствами $(1.1)$ и $(2.1)$.

-- Сб дек 03, 2016 13:58:30 --

$$x^3=(3y'^2-2)(3y'^2-3y'+1){\color{red}{(3y'^2+3y'+1)}}+1 \eqno(4)$$

Если существует натуральное $x'^3={\color{red}{3y'^2+3y'+1}}$, то $(3y'^2-2)=(x-1)$ должно делиться $3$, что невозможно при натуральном $y'$.