2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Возможно ли сведение интеграла к табличному?
Сообщение24.02.2015, 20:06 
Равняясь на табличный интеграл
$$\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-ax}\sin bx}{x}dx = \arctg \frac{b}{a},$$
пытаюсь найти интеграл
$$\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-ax}\sin b(1+ix)}{1+ix}dx,$$
но не знаю куда тут двигаться.

 
 
 
 Re: Возможно ли сведение интеграла к табличному?
Сообщение24.02.2015, 21:24 
Аватара пользователя
Такие штуки не растут один от другого. Информация о первом интеграле Вам ничем не поможет со вторым.
А берётся он так же, как первый. Например, дифференцированием по параметру.

 
 
 
 Re: Возможно ли сведение интеграла к табличному?
Сообщение24.02.2015, 21:43 
Спасибо, буду читать в указанном Вами направлении. Может быть ещё и полезную ссылку на литературу дадите?

 
 
 
 Re: Возможно ли сведение интеграла к табличному?
Сообщение24.02.2015, 23:23 
Аватара пользователя
Читать не надо. Надо делать. Дифференцирование по параметру - это когда пошли такие и взяли производную. Какая литература Вам нужна для того, чтобы взять производную?

 
 
 
 Re: Возможно ли сведение интеграла к табличному?
Сообщение25.02.2015, 11:24 
Вы правы - пошёл и сделал.
$$\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-ax}\sin b(1\pm ix)}{1\pm ix}dx = \pm \operatorname{arcth} \frac{b}{a}.$$

 
 
 
 Re: Возможно ли сведение интеграла к табличному?
Сообщение25.02.2015, 18:22 
bayak в сообщении #982313 писал(а):
Вы правы - пошёл и сделал.
$$\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-ax}\sin b(1\pm ix)}{1\pm ix}dx = \pm \operatorname{arcth} \frac{b}{a}.$$

Похоже, никто не проверял, поскольку правильно будет так
$$\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-ax}\sin b(1\pm ix)}{1\pm ix}dx = \pm \operatorname{arth} \frac{b}{a}.$$

 
 
 
 Re: Возможно ли сведение интеграла к табличному?
Сообщение25.02.2015, 18:31 
Аватара пользователя
Это (или первое, не вникал) скорее всего верно для версии, где вместо икса под синусом возникает чисто мнимая величина. При таком повороте обычно так и бывает, что тригонометрия переходит в гиперболические функции. Для $1+ix$ должно получаться что-то посложнее.

 
 
 
 Re: Возможно ли сведение интеграла к табличному?
Сообщение25.02.2015, 18:32 
bayak
И как вы это получили? У меня получилось лишь свести этот интеграл к интегральной показательной функции.

 
 
 
 Re: Возможно ли сведение интеграла к табличному?
Сообщение25.02.2015, 19:14 
Действовал по подсказке ИСН. Продифференцировал по параметру $b$ и получил интеграл
$$\int_{0}^{\infty}e^{-ax}\cos b(1+ix)dx.$$
Затем проинтегрировал по частям этот интеграл и интеграл
$$\int_{0}^{\infty}e^{-ax}\sin b(1+ix)dx$$
так, чтобы в обоих случаях было $u=\frac{e^{-ax}}{-a}$, и подставил второй интеграл в первый. В итоге получил выражение, которое проинтегрировал по параметру $b$.

 
 
 
 Re: Возможно ли сведение интеграла к табличному?
Сообщение25.02.2015, 19:36 
bayak
Так, я для интеграла получил $\[\int\limits_0^\infty  {{e^{ - ax}}\cos [b(1 + ix)]dx}  = \frac{{a\cos b - ib\sin b}}{{{a^2} - {b^2}}}\]$ тем же способом. А у вас что?
И интегрирование этого выражения как раз и приводит к спец. функциям

 
 
 
 Re: Возможно ли сведение интеграла к табличному?
Сообщение25.02.2015, 19:52 
Опаньки, а я единицу проворонил, и в итоге у меня числитель сильно упростился. Спасибо за поправку. А как Вы получили интегральную показательную функцию, если не секрет?

 
 
 
 Re: Возможно ли сведение интеграла к табличному?
Сообщение26.02.2015, 21:06 
Ms-dos4, так как Вам удалось свести его к спец. функциям? Максимум что мне удалось, так это свести его к интегральным выражениям типа:

$$\int \ln(x+1)\sin x dx,$$
$$\int x\ln(x+1)\sin x dx.$$

 
 
 
 Re: Возможно ли сведение интеграла к табличному?
Сообщение26.02.2015, 22:01 
Аватара пользователя
Интегрированием по частям уберите логарифм же.

 
 
 
 Re: Возможно ли сведение интеграла к табличному?
Сообщение26.02.2015, 22:36 
Мир не без добрых людей. Спасибо, ИСН.

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group