2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Возможно ли сведение интеграла к табличному?
Сообщение24.02.2015, 20:06 


26/04/08
857
Гродно, Беларусь
Равняясь на табличный интеграл
$$\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-ax}\sin bx}{x}dx = \arctg \frac{b}{a},$$
пытаюсь найти интеграл
$$\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-ax}\sin b(1+ix)}{1+ix}dx,$$
но не знаю куда тут двигаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возможно ли сведение интеграла к табличному?
Сообщение24.02.2015, 21:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
Такие штуки не растут один от другого. Информация о первом интеграле Вам ничем не поможет со вторым.
А берётся он так же, как первый. Например, дифференцированием по параметру.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возможно ли сведение интеграла к табличному?
Сообщение24.02.2015, 21:43 


26/04/08
857
Гродно, Беларусь
Спасибо, буду читать в указанном Вами направлении. Может быть ещё и полезную ссылку на литературу дадите?

 Профиль  
                  
 
 Re: Возможно ли сведение интеграла к табличному?
Сообщение24.02.2015, 23:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
Читать не надо. Надо делать. Дифференцирование по параметру - это когда пошли такие и взяли производную. Какая литература Вам нужна для того, чтобы взять производную?

 Профиль  
                  
 
 Re: Возможно ли сведение интеграла к табличному?
Сообщение25.02.2015, 11:24 


26/04/08
857
Гродно, Беларусь
Вы правы - пошёл и сделал.
$$\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-ax}\sin b(1\pm ix)}{1\pm ix}dx = \pm \operatorname{arcth} \frac{b}{a}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Возможно ли сведение интеграла к табличному?
Сообщение25.02.2015, 18:22 


26/04/08
857
Гродно, Беларусь
bayak в сообщении #982313 писал(а):
Вы правы - пошёл и сделал.
$$\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-ax}\sin b(1\pm ix)}{1\pm ix}dx = \pm \operatorname{arcth} \frac{b}{a}.$$

Похоже, никто не проверял, поскольку правильно будет так
$$\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-ax}\sin b(1\pm ix)}{1\pm ix}dx = \pm \operatorname{arth} \frac{b}{a}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Возможно ли сведение интеграла к табличному?
Сообщение25.02.2015, 18:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
Это (или первое, не вникал) скорее всего верно для версии, где вместо икса под синусом возникает чисто мнимая величина. При таком повороте обычно так и бывает, что тригонометрия переходит в гиперболические функции. Для $1+ix$ должно получаться что-то посложнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возможно ли сведение интеграла к табличному?
Сообщение25.02.2015, 18:32 
Заслуженный участник


25/02/08
2909
bayak
И как вы это получили? У меня получилось лишь свести этот интеграл к интегральной показательной функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возможно ли сведение интеграла к табличному?
Сообщение25.02.2015, 19:14 


26/04/08
857
Гродно, Беларусь
Действовал по подсказке ИСН. Продифференцировал по параметру $b$ и получил интеграл
$$\int_{0}^{\infty}e^{-ax}\cos b(1+ix)dx.$$
Затем проинтегрировал по частям этот интеграл и интеграл
$$\int_{0}^{\infty}e^{-ax}\sin b(1+ix)dx$$
так, чтобы в обоих случаях было $u=\frac{e^{-ax}}{-a}$, и подставил второй интеграл в первый. В итоге получил выражение, которое проинтегрировал по параметру $b$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возможно ли сведение интеграла к табличному?
Сообщение25.02.2015, 19:36 
Заслуженный участник


25/02/08
2909
bayak
Так, я для интеграла получил $\[\int\limits_0^\infty  {{e^{ - ax}}\cos [b(1 + ix)]dx}  = \frac{{a\cos b - ib\sin b}}{{{a^2} - {b^2}}}\]$ тем же способом. А у вас что?
И интегрирование этого выражения как раз и приводит к спец. функциям

 Профиль  
                  
 
 Re: Возможно ли сведение интеграла к табличному?
Сообщение25.02.2015, 19:52 


26/04/08
857
Гродно, Беларусь
Опаньки, а я единицу проворонил, и в итоге у меня числитель сильно упростился. Спасибо за поправку. А как Вы получили интегральную показательную функцию, если не секрет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Возможно ли сведение интеграла к табличному?
Сообщение26.02.2015, 21:06 


26/04/08
857
Гродно, Беларусь
Ms-dos4, так как Вам удалось свести его к спец. функциям? Максимум что мне удалось, так это свести его к интегральным выражениям типа:

$$\int \ln(x+1)\sin x dx,$$
$$\int x\ln(x+1)\sin x dx.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Возможно ли сведение интеграла к табличному?
Сообщение26.02.2015, 22:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
Интегрированием по частям уберите логарифм же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возможно ли сведение интеграла к табличному?
Сообщение26.02.2015, 22:36 


26/04/08
857
Гродно, Беларусь
Мир не без добрых людей. Спасибо, ИСН.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group