Линейное неоднородное разностное уравнение I порядка

[Taurus]

Нужна помощь с задачей Коши для линейного неоднородного разностного уравнения 1-го порядка.
$y_{k}-5y_{k-1} =2k-1$, $y_{1} =2$
Начал так: $y_{k}=\bar{y}_{k}+y^*_{k}$
$y_{k}-5y_{k-1} =0$
$y_{k} = \lambda^k$
$\lambda^{k}-5\lambda^{k-1}=0$
$\lambda^k(1-5\lambda^{-1})=0$
$\lambda=5$
$\bar{y}_{k}=C\cdot5^k$

$y^*_{k}=A(2k-1)$
$A(2k-1)-5A(2k-2)=2k-1$
Здесь застрял, верна ли предыдущая запись? Не получается найти A, выходит ерунда.

Разных книг понабрал, но доходчивого примера решения пока так и не нашёл.

[ИСН]

Taurus в сообщении #981970 писал(а):

$y^*_{k}=A(2k-1)$

Это вот откуда, зачем и почему?

[Taurus]

Это я так начал находить частное решение неоднородного уравнения. И решил, что так положено по методике решения - неопределённый коэффициент А умножить на правую часть исходного уравнения. После чего подставлять полученное $y^*_{k}$ в то же исходное и искать A.

[ИСН]

А, теперь понятно. Но есть один нюанс: частное решение имеет не такой вид.

[ewert]

Taurus в сообщении #981988 писал(а):

И решил, что так положено по методике решения - неопределённый коэффициент А умножить на правую часть исходного уравнения.

По методике не так. По методике правую часть следует максимально обобщить. А для этого следует знать, каких вообще типов бывают стандартные правые части -- и к какому конкретно типу относится эта.

[Taurus]

Вы про эти типы пишете?
Когда-то я решал те диф. уравнения в курсе мат. анализа, сейчас предмет о приближённых методах решения разностных уравнений (даже с рекомендацией использовать программные пакеты). В разобранном на вводной лекции примере не было игреков со штрихами, интегралов, только $y_{k}$, $y_{k+1}$, $y_{k-1}$, как и в задании. И для правой части вида $2^k$ частное решение началось с записи $y^*_{k}=A2^k$.
А тут как действовать?

[TOTAL]

Taurus в сообщении #982250 писал(а):

А тут как действовать?

Найдите $y_2, y_3, \cdots,$ углядите закономерность

[ИСН]

Для правой части вида $2^k$ оно так и выглядит. Для многочлена - иначе.

[Taurus]

$y^*_{k}=Ak-B$
$Ak-B-5(A(k-1)-B)=2k-1$
$-4Ak+4B+5A=2k-1$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} -4A=2 \\ 4B+5A=-1 \\ \end{array} \right.$$

$A=-\frac{1}{2}$, $B=\frac{3}{8}$
$y^*_{k}=-\frac{1}{2}k-\frac{3}{8}$

[ИСН]

Ну вот же, главное правильный вид - и сразу всё нашлось.

[Taurus]

Вот только дошёл я до него лишь потому, что начал разбирать другой пример, где в правой части 3k+2. В теории уж больно неочевидный вид частного решения.
Надеюсь, что дорешал верно. Спасибо за отклики.
$y_{k}=C\cdot5^k-\frac{1}{2}k-\frac{3}{8}$
Начальное условие: $y_{1} =2$
$C\cdot5-\frac{1}{2}-\frac{3}{8}=2$
$C=\frac{23}{8}/5=\frac{23}{40}$
$y_{k}=\frac{23}{40}\cdot5^k-\frac{1}{2}k-\frac{3}{8}$

[ewert]

Taurus в сообщении #982250 писал(а):

Вы про эти типы пишете?

Я - не про эти, конечно, хотя идеологии дифуров и разностных уравнений и аналогичны. Однако приведённая Вами ссылка позволяет, кажется, понять, в чём Ваши затруднения. По ней научиться решать что бы то ни было невозможно абсолютно: там стерильно бессвязный поток сознания, лишённый какой бы то ни было мысли. Конечно, если это просто набор примеров, приложенный к некоторой теории, то он может оказаться полезным. Однако его ценность в качестве замены теории вполне отрицательна.