циклическое время

[Freude]

Возможно эту тему нужно отправить в "Помогите разобраться". Существует ли в физике размышления на тему цикличности времени? Этот вопрос у меня возник в контексте изучения групп Ли в применении к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. В этом контексте оператор бесконечно малой трансляции во времени ничем не отличается от оператора малого поворота вращающегося тела.

[Munin]

Существуют.

Простейшая идея: если мы возьмём какое-нибудь колебание в колебательной системе, то оно периодическое, и можно сказать, что система "переживает один период снова и снова".

Идея посложней: может быть, наша Вселенная в целом "переживает один цикл времени снова и снова". Это не совсем согласуется с некоторыми другими принципами, например, с законом возрастания энтропии, но как идея - можно обсуждать. Скорее всего, это не подходит для нашей конкретной Вселенной: из-за тёмной энергии, наша Вселенная никогда не "вернётся к началу цикла". Но это не мешает прорабатывать теоретическую модель.

В частности, есть удобная теоретическая модель анти-де Ситтера (= AdS), в которой время как раз циклично. Можно взглянуть на неё в Пенроузе Структура пространства-времени, и в Хокинге-Эллисе Крупномасштабная структура пространства-времени.

----------------

И с другой стороны: как раз малый поворот вращающегося тела является редким частным случаем, когда бесконечно малое преобразование, после интегрирования, образует точное повторение какого-то цикла. Во множестве других ситуаций этого не будет происходить: можно взять для примера малый поворот двух вращающихся тел, угловые скорости которых не соизмеримы как рациональные числа. (Правда, в этом случае группа Ли всё равно будет компактна, но полно и некомпактных примеров.)

[amon]

Freude в сообщении #981934 писал(а):

В этом контексте оператор бесконечно малой трансляции во времени ничем не отличается от оператора малого поворота вращающегося тела.

Погуглите "квазиэнергия" (quasienergy).

[SergeyGubanov]

Freude в сообщении #981934 писал(а):

В этом контексте оператор бесконечно малой трансляции во времени ничем не отличается от оператора малого поворота вращающегося тела.

Думаю Вы куда-то не туда ассоциируете. Не в бесконечно малое надо глядеть, а в гранусловия.

Цикличность по времени накладывает слишком жёсткое гранусловие. Например, возьмём скалярную частицу массы $m$ и посадим её в одномерный ящик длины $L$. Частица описывается уравнением Клейна-Гордона:

$$ \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + m^2 \psi = 0, $$

которое при требовании цикличности по времени с периодом $T$ не будет иметь решений при произвольной $m$.

Решения будут возможны только при

$$ m_{n_0 n_1} = \sqrt{ \left( \frac{2\pi n_0}{T} \right)^2 - \left( \frac{2\pi n_1}{L} \right)^2 }, $$

здесь $n_0$, $n_1$ - целые числа.

И это лишь для очень простой системы - частица в ящике. Для более сложных систем требование цикличности по времени будет ещё более "губительным".

[Freude]

amon в сообщении #981960 писал(а):

Погуглите "квазиэнергия" (quasienergy).

Классно, спасибо!

-- Чт фев 26, 2015 17:49:21 --

SergeyGubanov в сообщении #982422 писал(а):

Цикличность по времени накладывает слишком жёсткое гранусловие.

Не такие они и жесткие, если период большой. В физике твердого тела часто используются периодические условия Борна-Кармана для аппроксимации непрерывного спектра так называемым квази-непрерывным.

Кроме того, мотив цикличности времени часто встречается в равновестных функциях Грина и в квантовом методе монте-карло, где в состоянии термодинамического равновесия пути представлены в виде колец (ring polymers).

-- Чт фев 26, 2015 17:53:00 --

Munin в сообщении #981957 писал(а):

Это не совсем согласуется с некоторыми другими принципами, например, с законом возрастания энтропии, но как идея - можно обсуждать. Скорее всего, это не подходит для нашей конкретной Вселенной: из-за тёмной энергии, наша Вселенная никогда не "вернётся к началу цикла".

Спасибо

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #982422 писал(а):

Цикличность по времени накладывает слишком жёсткое гранусловие.

Поясню: это верно только по той причине, что дополнительно наложено и пространственное гранусловие: "ящик" длины $L.$ Если этого не делать, а рассматривать уравнение Клейна-Гордона на неограниченной прямой, то указанное свойство исчезает, решения возможны при любых $m.$

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #983117 писал(а):

Поясню: это верно только по той причине, что дополнительно наложено и пространственное гранусловие: "ящик" длины $L.$ Если этого не делать, а рассматривать уравнение Клейна-Гордона на неограниченной прямой, то указанное свойство исчезает, решения возможны при любых $m.$

Так это лишь для упрощения. Вместо одномерного ящика можно было бы зациклить по времени атом водорода. Сколько бы дискретных уровней энергии у него осталось бы при произвольном $T$?..

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #983371 писал(а):

Так это лишь для упрощения.

Ну да, вместо упрощения для упрощения сделали усложнение. Молодец, вы в своём всегдашнем стиле.

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #983430 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #983371 писал(а):

Так это лишь для упрощения.

Ну да, вместо упрощения для упрощения сделали усложнение. Молодец, вы в своём всегдашнем стиле.

Уравнение Клейна-Гордона для одномерного ящика проще чем уравнение Дирака для атома водорода, а смысл один - при произвольном $T$ система (ни та ни другая) не существует, а при специально подобранном $T$ выживают далеко не все дискретные уровни. Сказанное относится и к более сложным системам, но чтобы понять в чём дело достаточно примера с одномерным ящиком.

[Munin]

Я даже не буду объяснять ошибку...

[мат-ламер]

SergeyGubanov
У вас потенциал от времени зависит? И если нет, то есть ли необходимость во времени вообще?

[Munin]

Остроумно замечено.

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #984701 писал(а):

Я даже не буду объяснять ошибку...

Ошибки нет.

мат-ламер в сообщении #984783 писал(а):

SergeyGubanov
У вас потенциал от времени зависит? И если нет, то есть ли необходимость во времени вообще?

Ну какой ещё потенциал? Цикличность по времени с периодом $T$ в самих уравнениях никак себя не проявляет. Цикличность по времени является ограничением накладываемым на решения. Из всевозможных решений нужно отобрать лишь такие, которые удовлетворяют следующему циклическому "гранусловию":

$$ \Phi_{A}(t + T, {\bf r}) = \Phi_{A}(t, {\bf r}), $$

здесь $\Phi_{A}(t, {\bf r})$ - вся совокупность полей задающих состояние системы. То есть через время $T$ состояние системы повторяется.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #984977 писал(а):

Ошибки нет.

Если вы это будете твердить, а не искать её, то так и не найдёте.

Вообще, это должно стать постоянным действием, естественным как дыхание: искать у себя ошибку.

-- 03.03.2015 12:52:04 --

Ладно, подсказка: атом не из одного электрона состоит.

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #985020 писал(а):

Ладно, подсказка: атом не из одного электрона состоит.

Разумеется есть ещё и ядро, существование которого при зацикливании по времени тоже оказывается под вопросом.