Мат.ожидание случайной величины

[fronnya]

Прохожу молекулярную физику, читаю Матвеева, там в начале даются понятия теории вероятностей и мат.статистики.
В общем, если случайная величина $X$ принимает ряд значений $x_1,x_2,x_3,..,x_n$, то её среднее значение определяется равенством:
$<x>=\frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^N x_i$ Далее он хочет исключить одинаковые значения $x_i$ и перегруппировывает сумму по $i$:

$$<x>=\sum\limits_j \frac{N_j x_j}{N}$$

т.е. получается

$$\sum\limits_j \frac{N_j x_j}{N}=\frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^N x_i$$

Как он перегруппировал, можете расписать подробно ? Я не понимаю

[aa_dav]

Имеется ввиду, что если каждое из значений встречается с одинаковой вероятностью и эта вероятность $1/N$ (т.е. каждое из $N$ значений встречается ровно 1 раз), то мы имеем формулу среднего арифметического. Если избавляемся от одинаковых значений, то вероятность такого значения увеличивается в общем ряде и составляет $N_j/N$, т.е. $N_j$ - это сколько раз значение $x_j$ встречалось в исходном ряде $x_i$. Поэтому такая форма получается.

[svv]

fronnya
Проблема в том, что эти формулы содержат не всю информацию о том, как суммировать. Используются неявные соглашения, причём разные.

$<x>=\frac{1}{N}\sum\limits_{i} x_i$
Неявное соглашение: каждое значение $x_i$ включаем в сумму столько раз, сколько оно встречается.

$<x>=\frac{1}{N}\sum\limits_j N_j x_j$
Неявное соглашение: каждое значение $x_j$ включаем в сумму только один раз, но домножаем на его «число встречаемостей».

[provincialka]

$1+3+2+1+3+1+1+2+2+2+2=1\cdot 4+ 2\cdot 5+ 3\cdot 2$

[fronnya]

А, ну да. Спасибо.

[arseniiv]

(Скоро меня будут звать советчиком угловых скобок.)

$\langle x\rangle$; \langle x\rangle

[Евгений Машеров]

fronnya в сообщении #981687 писал(а):

Прохожу молекулярную физику, читаю Матвеева, там в начале даются понятия теории вероятностей и мат.статистики.
В общем, если случайная величина $X$ принимает ряд значений $x_1,x_2,x_3,..,x_n$, то её среднее значение определяется равенством:
$<x>=\frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^N x_i$ Далее он хочет исключить одинаковые значения $x_i$ и перегруппировывает сумму по $i$:

$$<x>=\sum\limits_j \frac{N_j x_j}{N}$$

т.е. получается

$$\sum\limits_j \frac{N_j x_j}{N}=\frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^N x_i$$

Как он перегруппировал, можете расписать подробно ? Я не понимаю

Это замена умножения сложением.
$N_j$ слагаемых, все равные $x_j$, имеют сумму $N_j x_j$