Уравнение в виде суммы рациональных дробей

[DMZ]

Есть уравнение вида

$$\sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{a_i x}{1-a_i x} = b$$

при этом заданы ограничения: $a_i > 0$, $b > 0$, $x > 0$ и $a_i x < 1\forall i$

Очевидно, что можно перенести $b$ в левую часть, умножить на $\prod\limits_{i=1}^{n}1-a_i x$ и свести всё к решению полинома $n$-й степени.
Но, во-первых, не получается вывести общее выражение для коэффициента при $x^i$.
А во-вторых, и это главное, - априорно известно, что решение при заданых ограничениях всегда будет одно. Может есть какой-то способ выразить $x $ в явном виде?

[ИСН]

В химической термодинамике, например, полно таких задач, которые сводятся к полиному $n$-й степени и у которых по физическим соображениям решение заведомо есть и только одно. Но от этого решить их не делается проще, чем найти корень любого полинома $n$-й степени.

[grizzly]

Правильно ли я понимаю, что Ваше уравнение переписывается в таком виде:

$$\sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{1-a_i x} = b+n$$

и является, по сути суммой $n$ гипербол, которая пересекает линию уровня $b+n$ в $n$ точках, из которых в силу ограничений $a_i x < 1, i=1,...,n,$ Вас интересует только первая? А Вам нужно её в явном виде аналитически? Если я всё это понял правильно, то когда множество разных $a_i$ имеет мощность не больше 2, это просто. А когда больше, то сложно.

[Евгений Машеров]

А когда больше четырёх, и вовсе невозможно (в смысле записать формулу, а так решается достаточно быстро, скажем, Ньютоном)