Как запомнить теорему Чевы и Менелая?

[Don-Don]

Есть ли какие-то мнемонические правила или что-то еще, все время путаюсь в обозначениях

[provincialka]

Пусть на прямых $AB,BC,CA$ лежат, соответственно, точки $K,L,M$. Запишите такую "болванку":

$$\dfrac{A\quad}{\quad B}\cdot \dfrac{B\quad}{\quad C}\cdot \dfrac{C\quad}{\quad A}=1$$

Буквы идут циклически.
На пропущенные места ставьте $K,L,M$. Например, в первой дроби: на прямой $AB$ лежит $K$, значит, сомножитель примет вид $\dfrac{AK}{KB}$.
Кстати, порядок букв тоже правильный, если рассматривать направленные отрезки. Только у Менелая в этом случае справа будет $-1$.

[Pphantom]

Для теоремы Чевы, пожалуй, проще всего сделать так: рисуем треугольник, отмечаем точки на его сторонах, обнаруживаем, что у нас получилось шесть отрезков. Обходим отрезки по кругу, начиная с любого, и пишем, что если чевианы конкурентны, то произведение длин отрезков, стоящих на нечетных местах, равно произведению длин отрезков, стоящих на четных местах.

Формулу из теоремы Менелая проще запомнить "в лоб":

$$ \frac{A B'}{B' C} \cdot \frac{B C'}{C' A} \cdot \frac{C A'}{A' B} = -1 $$

Все штрихованные буквы сверху стоят справа, а снизу - слева (можно и наоборот, но тоже одинаково), каждая буква по одному разу встречается и сверху, и снизу, со штрихом и без штриха, в каждой паре буквы должны быть разными.

[Don-Don]

Спасибо! Теперь все очень легко запомнить! Я так понимаю, что формула там одна и та же, только разный смысл несут теоремы. А когда чаще всего используются они?

[provincialka]

Don-Don в сообщении #981196 писал(а):

Я так понимаю, что формула там одна и та же, только разный смысл несут теоремы.

Да, примерно так. Хотя, по сути, эти теоремы связаны, они являются двойственными друг другу.

Don-Don в сообщении #981196 писал(а):

А когда чаще всего используются они?

На кухне, когда капусту нарезаю! Мало ли когда: в аффинных геометрических задачах.

[Don-Don]

provincialka в сообщении #981201 писал(а):

Don-Don в сообщении #981196 писал(а):

Я так понимаю, что формула там одна и та же, только разный смысл несут теоремы.

Да, примерно так. Хотя, по сути, эти теоремы связаны, они являются двойственными друг другу.

Don-Don в сообщении #981196 писал(а):

А когда чаще всего используются они?

На кухне, когда капусту нарезаю! Мало ли когда: в аффинных геометрических задачах.

А в каком смысле двойственные, как они примерно связаны?)

[provincialka]

Понятие двойственности вводится в проективной геометрии. Если вместо слов "точка лежит на прямой" или "прямая проходит через точку" говорить "точка и прямая инцидентны", то окажется, что во всякой теореме проективной геометрии на плоскости можно спокойно заменить каждую "точку" на "прямую" и наоборот.

При этом треугольник рассматривается как набор трех точек (вершин) $A,B,C$ и трех попарно инцидентных им прямых $a,b,c$. Например, прямая $a$ инцидентна точкам $B,C$, а точка $A$ -- прямым $b,c$.

Только я не помню, почему в одном случае (Менелай) "минус", а в другом - нет. Видимо, записанный вариант все же не проективный, а аффинный.

[Don-Don]

Спасибо большое, ясно"!