2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Как запомнить теорему Чевы и Менелая?
Сообщение22.02.2015, 14:05 


04/03/14
176
Есть ли какие-то мнемонические правила или что-то еще, все время путаюсь в обозначениях

 Профиль  
                  
 
 Re: Как запомнить теорему Чевы и Менелая?
Сообщение22.02.2015, 14:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11482
Казань
Пусть на прямых $AB,BC,CA$ лежат, соответственно, точки $K,L,M$. Запишите такую "болванку":
$$\dfrac{A\quad}{\quad B}\cdot \dfrac{B\quad}{\quad C}\cdot \dfrac{C\quad}{\quad A}=1$$ Буквы идут циклически.
На пропущенные места ставьте $K,L,M$. Например, в первой дроби: на прямой $AB$ лежит $K$, значит, сомножитель примет вид $\dfrac{AK}{KB}$.
Кстати, порядок букв тоже правильный, если рассматривать направленные отрезки. Только у Менелая в этом случае справа будет $-1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как запомнить теорему Чевы и Менелая?
Сообщение22.02.2015, 14:25 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
12597
Кронштадт
Для теоремы Чевы, пожалуй, проще всего сделать так: рисуем треугольник, отмечаем точки на его сторонах, обнаруживаем, что у нас получилось шесть отрезков. Обходим отрезки по кругу, начиная с любого, и пишем, что если чевианы конкурентны, то произведение длин отрезков, стоящих на нечетных местах, равно произведению длин отрезков, стоящих на четных местах.

Формулу из теоремы Менелая проще запомнить "в лоб":
$$
 \frac{A B'}{B' C} \cdot  \frac{B C'}{C' A} \cdot \frac{C A'}{A' B}  = -1
$$
Все штрихованные буквы сверху стоят справа, а снизу - слева (можно и наоборот, но тоже одинаково), каждая буква по одному разу встречается и сверху, и снизу, со штрихом и без штриха, в каждой паре буквы должны быть разными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как запомнить теорему Чевы и Менелая?
Сообщение22.02.2015, 14:32 


04/03/14
176
Спасибо! Теперь все очень легко запомнить! Я так понимаю, что формула там одна и та же, только разный смысл несут теоремы. А когда чаще всего используются они?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как запомнить теорему Чевы и Менелая?
Сообщение22.02.2015, 14:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11482
Казань
Don-Don в сообщении #981196 писал(а):
Я так понимаю, что формула там одна и та же, только разный смысл несут теоремы.

Да, примерно так. Хотя, по сути, эти теоремы связаны, они являются двойственными друг другу.
Don-Don в сообщении #981196 писал(а):
А когда чаще всего используются они?

На кухне, когда капусту нарезаю! :mrgreen: Мало ли когда: в аффинных геометрических задачах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как запомнить теорему Чевы и Менелая?
Сообщение22.02.2015, 14:44 


04/03/14
176
provincialka в сообщении #981201 писал(а):
Don-Don в сообщении #981196 писал(а):
Я так понимаю, что формула там одна и та же, только разный смысл несут теоремы.

Да, примерно так. Хотя, по сути, эти теоремы связаны, они являются двойственными друг другу.
Don-Don в сообщении #981196 писал(а):
А когда чаще всего используются они?

На кухне, когда капусту нарезаю! :mrgreen: Мало ли когда: в аффинных геометрических задачах.

А в каком смысле двойственные, как они примерно связаны?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Как запомнить теорему Чевы и Менелая?
Сообщение22.02.2015, 15:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11482
Казань
Понятие двойственности вводится в проективной геометрии. Если вместо слов "точка лежит на прямой" или "прямая проходит через точку" говорить "точка и прямая инцидентны", то окажется, что во всякой теореме проективной геометрии на плоскости можно спокойно заменить каждую "точку" на "прямую" и наоборот.

При этом треугольник рассматривается как набор трех точек (вершин) $A,B,C$ и трех попарно инцидентных им прямых $a,b,c$. Например, прямая $a$ инцидентна точкам $B,C$, а точка $A$ -- прямым $b,c$.

Только я не помню, почему в одном случае (Менелай) "минус", а в другом - нет. Видимо, записанный вариант все же не проективный, а аффинный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как запомнить теорему Чевы и Менелая?
Сообщение22.02.2015, 23:23 


04/03/14
176
Спасибо большое, ясно"!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group