Интеграл с неизолированной особенностью

[Dandeliona]

Чему равен $\int_{|z|=1}\tan\left(\frac{1}{z}\right)\,dz$?

У $\tan\left(\frac{1}{z}\right) $ простые полюсы в $z_k=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+\pi k},\quad k\in\mathbb Z$ и неизолированная особенность в $z=0$.

Если $z=e^{it}$, то $dz=ie^{it}\,dt$ и $\int_{|z|=1}\tan\left(\frac{1}{z}\right)\,dz=\int_0^{2\pi}\tan(e^{-it})ie^{it}\,dt$ – как-то это пытаться посчитать? Или выделять диски с конечным числом особенностей и переходить к пределу?

[Red_Herring]

Рассмотрите внешность круга и считайте вычет в бесконечно удаленной точке

[Dandeliona]

Red_Herring в сообщении #980679 писал(а):

Рассмотрите внешность круга и считайте вычет в бесконечно удаленной точке

Вычет в бесконечно удаленной точке равен -1.
Сумма всех вычетов равна 0, в любом диске с радиусом в 0 конечное число вычетов, то есть искомый интеграл есть $-2\pi i$?

[Otta]

Dandeliona в сообщении #980685 писал(а):

Сумма всех вычетов равна 0, в любом диске с радиусом в 0 конечное число вычетов,

Э? Ну как же конечное, Вы же особые точки выписали все с самого начала.

Не надо этой теоремой пользоваться, она тут не годится. Просто ориентируйте окружность нужным образом, а требуемый интеграл посчитаете с поправкой на знак.

[ex-math]

После того, как последуете советам коллег, сделайте еще замену переменной $\zeta=\frac1z$.

[Dandeliona]

Спасибо, но все равно непонятно, какие именно утверждения применяются.
Есть где-нибудь разобранный пример, где считается интеграл с бесконечным числом особенностей?

$\int_{|z|=1}\tan\left(\frac{1}{z}\right)\,dz=2\pi i\sum_{n=0}^\infty\text{Res}(z_n)+\text{Res}(0)=2\pi i\text{Res}(\infty)=2\pi i$ неверно ж.

[ex-math]

Dandeliona
Если Вы ориентируете контур в другую сторону, то в области, которую он ограничивает (внешность круга) будет ровно одна особая точка. Все, никакого бесконечного числа особенностей.