Демидович 1806.

[kvendingoldo]

Укажите на ошибку, уже 20 минут не могу взять интеграл!
$\int \frac{arcsinx}{x^2}dx$
Беру так:
$\int \frac{arcsinx}{x^2}dx = -\frac{1}{x}arcsinx + \int\frac{dx}{x\sqrt{1-x^2}} $
Второй интеграл пробовал брать разными методами: и через тригонометрическую подстановку, и через замену. С ответом не сходиться!
Последний раз пробовал брать так:
Пусть $t=\sqrt{1-x^2}$
Тогда $ dt = -\frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}$
И интеграл превращается в такой: $-\int\frac{dt}{t^2-1}=\int\frac{dt}{1-t^2}$
А он табличный: $\frac{1}{2}\ln|\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{1-\sqrt{1-x^2}}|$
И получается:$ \int \frac{arcsinx}{x^2}= -\frac{1}{x}arcsinx+\frac{1}{2}\ln|\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{1-\sqrt{1-x^2}}|$
В ответе : $-\frac{1}{x}arcsinx-\ln|\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}|$

[ИСН]

Вы точно уверены в своей способности отличать одинаковое от разного?

[kvendingoldo]

ИСН в сообщении #980311 писал(а):

Вы точно уверены в своей способности отличать одинаковое от разного?

Вполне. Я понимаю,что логарифмы равны, но я не понимаю, почему у меня получился более сложный логарифм.

upd: все, решил. Понял, где запутался.

[svv]

kvendingoldo в сообщении #980351 писал(а):

Я понимаю,что логарифмы равны

Тогда это и не ошибка. Иногда и Ваша форма удобнее.

[Sinoid]

Забыто, как всегда, постоянное. Почему-то постепенно это входит в норму.

[Aritaborian]

Один студент тоже всегда забывал добавлять постоянную интегрирования. Потом он зашёл на стройку и на голову ему упал кирпич. А один ИСН заколебался, видимо, рассказывать эту историю, но поскольку это уже фольклор, рассказать её могу и я.

[Sinoid]

Между прочим, так можно договориться до того, что, к примеру, $\sin^{2}x=-\cos^{2}x$ , так что смех смехом, а запутать это может изрядно.