Линии уровня квадратичной формы - что это?

[Twidobik]

Доброго времени суток!
Есть задание, в котором дана матрица $A$ линейного оператора в ${R^2}$ и необходимо построить матричный оператор, заданный матрицей $A$, найти собственные векторы матрицы, привести квадратичную форму к каноническому виду и построить линии уровня квадратичной формы.
Пожалуйста, не могли бы вы подсказать, что имеется ввиду под "построить линии уровня квадратичной формы"? Про какие линии идет речь? Где их строить? Не могу понять эту формулировку

[ИСН]

А что такое квадратичная форма, знаете? А какое отношение она имеет к матрице, например?

[Twidobik]

ИСН, что такое квадратичная форма, думаю, знаю.
Это "сумма, каждым слагаемым которой является либо квадрат одной переменной, либо произведение двух разных переменных, взятое с некоторым числовым коэффициентом". Это мне понятно.
Квадратичную форму можно записать в виде матрицы, а затем с помощью преобразований приводить к каноническому виду, например, что я и сделал.

-- 19.02.2015, 16:41 --

В Интернете в основном очень доступно и с примерами объясняются подобные задания, поэтому предыдущие пункты трудности не вызвали. А вот про линии уровня квадратичной формы я не нашел и как применить их к данному заданию не понимаю

[ИСН]

Зайду с другой стороны. Встречалось ли Вам раньше понятие "линии уровня", и свойством какого объекта оно было?

[Twidobik]

Если не ошибаюсь, это понятие было связано с функцией и обозначало точки, в которых она принимала одинаковое значение. А еще при решении задач максимизации геометрическим методом, но про эти задачи я тоже узнал буквально пару дней назад.

[ИСН]

Twidobik в сообщении #980225 писал(а):

это понятие было связано с функцией и обозначало точки, в которых она принимала одинаковое значение

Именно! Оно и есть! А не знаете ли, к какой функции его можно было бы приложить здесь?

[Twidobik]

С помощью заданной матрицы можно записать саму квадратичную форму:
$f({x_1};{x_2}) = 2{x_1}^2 - 2{x_1}{x_2} + 2{x_2}^2$
К этой функции?
И, приравнивая ее к произвольным числам, например, $0$, $4$ и так далее, будем получать линии уровня?

[ИСН]

Ну!

[Twidobik]

Вот оно что! На деле все не так страшно. Спасибо большое!