Недоопределённые системы нелинейных уравнений

[one man]

Кто-нибудь может просветить по поводу прикладных направлений, где работают с недоопределёнными системами нелинейных уравнений? Пока знаю про некоторые мат модели в физике, в которых бывает несколько переменных в одном уравнении, и про теорию машин и механизмов.

[miflin]

В моей практике пришлось столкнуться один раз, когда писал программу по центровке турбоагрегата.
Получилась линейная недоопределенная система уравнений.
Решал методом неопределенных множителей Лагранжа -
искал такое решение, при котором функция, зависящая от переменных,
входящих в систему, принимает минимум.
В качестве функции, если интересно, была выбрана
"сумма квадратов отклонений оси вала в масляных расточках".

-- 19.02.2015, 11:33 --

Только сейчас досмотрел, что речь о нелинейных...

[one man]

Да, спасибо. Меня интересует бесконечное множество решений и его непосредственное применение в описании процесса с мощью такой матмодели, как недоопределённая система.

[one man]

... c помощью такой матмодели... (конечно же)

[mserg]

Можно посмотреть "Робастное управление". Правда "бесконечное множество решений" там не используется в силу невозможности сего явления в реальном мире прикладных задач.

Непрямое применение - это алгоритмы глобальной оптимизации.

[one man]

mserg в сообщении #980348 писал(а):

Можно посмотреть "Робастное управление"..

Спасибо.

mserg в сообщении #980348 писал(а):

... "бесконечное множество решений" ... не используется в силу невозможности сего явления в реальном мире прикладных задач.

Суть Вашего замечания ошибочна. Например, геометрия (траектории) точек рычажных механизмов соответствуют бесконечному множеству, а все положения механизма практически всегда можно задать системой нелинейных уравнений.

[mserg]

Задать то можно, но где тут "прикладной характер"? Параметры какие-то хотите оценить?

[one man]

Если Вы про рычажные механизмы, то для полного расчёта геометрии и кинематики составляется система уравнений, учитывающая связи (голономные) между точками механизма. Система может быть от полиномиальной до трансцендентной. В этой системе число уравнений меньше числа переменных, а разница между ними отвечает за число степеней свободы механизма. В процессе решения системы мы получаем геометрию и кинематику точек, при этом любая из точек или какие-либо отдельные координаты могут быть выбраны за так называемые управляющие.
Но это немного не по теме, а тут, как я понял, всё очень строго, тем более логики строгости я пока не понял, исходя из опыта своей предыдущей темы. Если Вас интересуют механизмы, то мы можем пообщаться где-нибудь ещё или в отдельной теме.

[mserg]

В первом сообщении спрашивалось о «прикладных направлениях». В моей картине мира, если математически описать некоторую систему (недоопределенную -где «переменных больше чем ограничений), то от этого она не станет «прикладной». «Прикладная» это как бы сама возможность получения некоторой «пользы» для «народного хозяйства». Вот я и спросил, куда и как можно приложить «недоопределенную систему» рычажных механизмов. Ответа нет, и я не вижу здесь прикладного характера.

Другое дело, если прикладная задача состоит в получении механизма, который должен работать с гарантированной точностью. «Детали» механизма изготавливаются не точно, с погрешностями. А высокая точность – это расходы. Прикладная задача может состояться в том, чтобы найти, с какими допусками нужно изготавливать детали, чтобы механизм работал с заданной точностью и не разориться на изготовлении деталей. Тут понятна и недоопределенность системы (параметры рычагов и соединений отклоняются от идеального значения и могут «плавать»), понятна польза и т.д.

Не претендую на правильное знание жизни, но в моем понимании за прикладным направлением должен просматриваться класс практических задач. Но этим, насколько я знаю, занимаются «организаторы науки».

[one man]

Геометрия и кинематика – это не точность изготовления деталей. Проблемы точности изготовления решаются технологами, а уже потом другие задачи из-за этого у тех, кто исследует вибрацию, трение, износ и т п. Мы же говорим, – не знаю, насколько я понятно изъясняюсь, – о математических моделях в виде систем уравнений. Можно, конечно, поговорить и об аппарате их решения, но, опять же, это другая тема.
Вы упоминали задачи оптимизации. Да, некоторые направления удалось затронуть, и довольно небезуспешно, но именно там, где можно использовать бесконечность множества решений. Но это уже как бы пройденный этап. Хотелось коснуться ещё какого-то направления, где применимы такие системы.
Что касается условной и безусловной оптимизации, то сейчас разработан очень мощный аппарат, мощный до такой степени, что даже непросто придумать тестовые примеры для него. Взять тот же Maple с его встроенными функциями и доп пакетами, написанными выдающимися пользователями. Но вот работа с бесконечными решениями налажена ещё никак, мягко говоря.

[one man]

Кажется, понял, что Вас смущает. Наверное, само название “недоопределённая система”. Нет, это не какая-то прискорбно-ущербная система, ну, пусть будет уравнение невырожденной поверхности в неявном виде в 3d. Все точки отвечают уравнению, число точек бесконечно, уравнение одно, переменных 3, это система, в то же время она уравнение поверхности и “недоопределённая система”.
Если смущает слово “прикладное” – то это прикладная математика.
Или вместо механизмов возьмём параллельные кривые на плоскости или просто на поверхности. Их вычисление тоже имеет прикладное значение. Геодезические тоже. В хорошем прикладном смысле. Там тоже недоопределённые системы.

[mserg]

Можно ли увидеть конкретный практический пример именно недоопределенной системы?

[one man]

Текст системы я убрал, потому что не знаю, как оформить лучше, а на что мне указывалось красными буквами, действительности не соответствовало. Если можно, пусть будет так.
Результат решения системы можно посмотреть по ссылке на сообщение на MaplePrimes,
там ещё есть текст программы на Maple15 с самой системой (Type_of_Hooke.mw), думаю, текст прочитают и многие ранние версии.
http://www.mapleprimes.com/posts/200663 ... -Linkages-

[mserg]

Ну а сама то модель в чем состоит? Математическая модель описывает реальность, так ведь? Какую именно реальность описывает Ваша система?

[one man]

Предлагаю Вам сначала немного подготовиться к беседе, хотя бы почитать, например, что-нибудь про карданную передачу, про то, как она рассчитывается стандартными методами, (пусть, шарнир Гука), вообще про проблемы ТММ, про геодезические … А примеры с “квадратным” шарниром и с “трансцендентными” просто иллюстрация возможностей подхода, потому что такие шарниры невыполнимы в рамках классической ТММ или, как минимум, будут результатом многолетней работы целого коллектива. Кстати, вопрос о прикладном характере расчёта рычажных механизмов можно ещё задать и разработчикам соответствующих САМ систем.
Но тему я начал не для этого.