Найти числа x, y, z

[ph11]

Найти числа $x, y, z \in \mathbb{N^*}$,такие, что $6^x=1+2^y+3^z$

[hippie]

Ответ: (1; 1; 1), (1; 2; 0), (2; 3; 3), (2; 5; 1).

Решается по модулю 8.

[nnosipov]

hippie в сообщении #980056 писал(а):

Решается по модулю 8.

Что-то не видно противоречия, когда $x$ чётно, $y \geqslant 3$ и $z$ нечётно (в этом случае обе части совпадают по модулю $8$).

[Cash]

Почему не видно? Вроде слева ноль, а справа четыре.

[nnosipov]

Пардон, действительно видно.

[fibonacci]

We see that $2^a \equiv 2 \pmod{3}$ so $a$ is odd.
Case 1. If $a=1$ then $3^b+3=6^c$ implies $b=c=1$.
Case 2. If $a \ge 3$ then $c \ge 2$, we obtain $4|6^c$ and $8|2^a$. It follows that $3^b \equiv 3 \pmod{4}$. We get $b$ is odd. Thus, $3^b \equiv 3 \pmod{8}$. Hence $2^a+3^b+1 \equiv 4 \pmod{8}$.
From here we obtain $c=2$, so $2^a+3^b=35$. We find $a=3,b=3$ and $a=5,b=1$.
Thus, $\boxed{(a,b,c)=(1;1;1),(3;3,2),(5;1;2)}$