Момент внутренних электронов

[studentmk_32]

Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, разобраться.

При обсуждении опыта Штерна-Герлаха прозвучало что-то типа "моменты внутренних электронов компенсируют друг друга". Сначала мне показалось это очевидным, но потом я понял, что доказать я это не могу. :)

Из квантовой механики я помню что сложение моментов непростая штука и есть несколько моделей (например, связь Расселя-Саундерса). Но приведенное утверждение вроде как общее, то есть от модели независящее. Что-то я запутался.

[Munin]

Под сложением моментов подразумевают две вещи, простую и более сложную:
1. Что будет, если есть два момента, и надо найти их сумму? $\mathbf{j}_1+\mathbf{j}_2=?$
2. Как устроено спин-орбитальное и электростатическое взаимодействие в атоме, то есть, какую роль в энергиях уровней играют величины $\mathbf{l}_1,\mathbf{l}_2,\mathbf{s}_1,\mathbf{s}_2,\mathbf{j}_1,\mathbf{j}_2$?

Вы услышали про более сложную, и подумали, что она делает "непростой" более простую.

Фраза "моменты внутренних электронов компенсируют друг друга" означает, что моменты внутренних электронов складываются так, что в сумме получается нулевой момент - синглетное состояние. $\sum\limits_{i\in\mathrm{int}}\mathbf{j}_i=0.$ Тогда момент атома в целом равен моменту внешних электронов (или одного внешнего электрона, я не знаю, про какой атом вы читали). Не знаю, насколько это очевидно, но так устроены орбитали: если взять полный набор при $n=\mathrm{const},$ то получится в сумме нулевой орбитальный момент, а поскольку на каждой орбитали два электрона с разными спинами, то они дают нулевой спиновый момент. Правильные знаки обеспечиваются (анти)симметричностью электронов как фермионов.

На более сложном уровне, внешние электроны можно считать взаимодействующими с внутренними. Тогда, внешний электрон будет постепенно обмениваться с подсистемой внутренних своими орбитальным и спиновым моментами. Но это величина, которую можно считать малой (в зависимости от конкретного атома и внешних условий). Пусть на элементарном уровне эти вещи вас не заботят.

[studentmk_32]

Цитата:

Не знаю, насколько это очевидно

Я это понимаю на уровне "школы". Рассмотрим заполненный $2p^6$ уровень. Тогда, да, например, момент электрона со спином "вверх" и с $l_z = -1$ будет компенсироваться электроном со спином "вниз", но $l_z = +1$ и так далее. Но правомерно ли такое рассуждение со стороны квантовой механики? Можно но ли складывать моменты как простые вектора? И что будет с $x$ и $y$ компонентами?

Цитата:

Пусть на элементарном уровне эти вещи вас не заботят.

Да, признаться, последний абзац я не понял.

[Munin]

studentmk_32 в сообщении #979356 писал(а):

Я это понимаю на уровне "школы". Рассмотрим заполненный $2p^6$ уровень. Тогда, да, например, момент электрона со спином "вверх" и с $l_z = -1$ будет компенсироваться электроном со спином "вниз", но $l_z = +1$ и так далее. Но правомерно ли такое рассуждение со стороны квантовой механики?

Правомерно, но посложнее. Рассмотрим $2s^2$ уровень. Он состоит из двух состояний, $\psi_+\colon l=0,s=+\tfrac{1}{2},$ и $\psi_-\colon l=0,s=-\tfrac{1}{2}.$ Посадим на оба по электрону, тогда у нас будет двухэлектронная волновая функция $\Psi(e_1,e_2)=\psi_+(e_1)\psi_-(e_2).$ Вот теперь надо вспомнить, что это фермионы, и двухэлектронная волновая функция должна быть антисимметрична по отношению к перестановке частиц: $\Psi(e_1,e_2)=-\Psi(e_2,e_1)$; и соответствующим образом антисимметризовать её:

$$\Psi(e_1,e_2)=\tfrac{\,1}{\!\sqrt{2\,}\,}\bigl(\psi_+(e_1)\psi_-(e_2)-\psi_+(e_2)\psi_-(e_1)\bigr).$$

Поскольку пространственная часть здесь на всех одинаковая, то антисимметризуется спиновая часть, то есть, получается

$$\Psi(e_1,e_2)=\psi_{2s}(\mathbf{r}_1)\psi_{2s}(\mathbf{r}_2\cdot\tfrac{\,1}{\!\sqrt{2\,}\,}\bigl(\lvert\uparrow\downarrow\rangle-\lvert\downarrow\uparrow\rangle\bigr).$$

А теперь видим, что то, что в скобках, - синглетное состояние. То есть, соответствует суммарному спину $\mathbf{s}=\mathbf{s}_1+\mathbf{s}_2=0.$

Для орбитальных моментов то же самое, но посложнее (там возникают определители матриц $3\times 3$ и прочие громоздкости).

Если бы не было антисимметризации, то состояние $\lvert\uparrow\downarrow\rangle$ было бы суперпозицией двух: с суммарным спином 0 и с суммарным спином 1. Поэтому, ничего хорошего тут "на пальцах" не выйдет: либо $\mathbf{s}=\mathbf{s}_1+\mathbf{s}_2=0,$ либо $\mathbf{s}=\mathbf{s}_1+\mathbf{s}_2=1.$

studentmk_32 в сообщении #979356 писал(а):

Можно но ли складывать моменты как простые вектора?

Нет, конечно. Их можно складывать как моменты - в ЛЛ-3 этому посвящены целых две главы: 4-я и 8-я (не считая ещё 14-ю).

studentmk_32 в сообщении #979356 писал(а):

И что будет с $x$ и $y$ компонентами?

С ними всё автоматически организуется, когда вы сложите правильно $z$-компоненты.