2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Помогите решить функциональное уравнение
Сообщение15.02.2015, 23:18 


20/03/11

82
Задача такова: Функция $\varphi(x)$ определена для всех действительных $x$, удовлетворяет соотношению: $\varphi(x^{2}) - 2x\varphi(x) - \varphi(x^{2} + 2) = x^{2} + 5x$. Чему равно $\varphi(3)$?

Пробовал подставлять за место $\varphi(x)$ полиномы различной степени, результат не сходился.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить функциональное уравнение
Сообщение15.02.2015, 23:30 


19/05/10

3940
Россия
А вместо икс разные числа пробовали подставлять?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить функциональное уравнение
Сообщение15.02.2015, 23:58 


20/03/11

82
Пробовал, но толку от этого никакого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить функциональное уравнение
Сообщение16.02.2015, 16:49 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Rock`n`Rolla в сообщении #978921 писал(а):
$\varphi(x^{2}) - 2x\varphi(x) - \varphi(x^{2} + 2) = x^{2} + 5x$. Чему равно $\varphi(3)$?

Чему угодно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить функциональное уравнение
Сообщение17.02.2015, 12:20 


20/03/11

82
Как это доказать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить функциональное уравнение
Сообщение17.02.2015, 12:58 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Функцию можно задать на $[0;\sqrt2)$ как угодно, и только потом она доопределяется этим уравнением на всю ось уже однозначно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить функциональное уравнение
Сообщение17.02.2015, 17:26 
Аватара пользователя


28/01/14
351
Москва
ewert в сообщении #979526 писал(а):
Функцию можно задать на $[0;\sqrt2)$ как угодно, и только потом она доопределяется этим уравнением на всю ось уже однозначно.

Ничёсе.... А не поясните ход рассуждений? Потому что я тоже упирался в какую-то однозначно заданную функцию на всей числовой прямой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить функциональное уравнение
Сообщение17.02.2015, 18:49 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
При $t\geqslant0$ уравнение $\varphi(t+2)=\varphi(t)-2\sqrt t\,\varphi(\sqrt t)-t-5\sqrt t$ не накладывает никаких ограничений на функцию при значениях $t\in[0;2)$, поскольку аргумент левой части лежит вне этого промежутка. Зададим функцию на этом промежутке произвольно. Тогда это уравнение уже однозначно определяет значения функции на $[2;4)$, затем на $[4;6)$ и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить функциональное уравнение
Сообщение17.02.2015, 19:29 
Аватара пользователя


28/01/14
351
Москва
Т.е. находим слагаемое, в котором у функции максимальный аргумент и переносим его в левую часть, а потом говорим, что всё, что происходит с функцией в области левее этого аргумента, нам вообще по барабану, как хотим, так и задаем, а всё, что правее задается такой вот "рекурентной" формулой. Я правильно уловил?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить функциональное уравнение
Сообщение17.02.2015, 19:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
OlegCh в сообщении #979626 писал(а):
что происходит с функцией в области левее этого аргумента, нам вообще по барабану...?
Нет, ведь уравнение должно выполняться на всей прямой. Надо проверить, не будет ли противоречий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить функциональное уравнение
Сообщение17.02.2015, 20:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
OlegCh в сообщении #979626 писал(а):
Т.е. находим слагаемое, в котором у функции максимальный аргумент и переносим его в левую часть
Вы спрашиваете, в сущности, каков общий метод решения функциональных уравнений. Общий метод - это выкинуть нафиг и забыть. Есть редкие искусственные примеры, когда удаётся что-то получить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить функциональное уравнение
Сообщение17.02.2015, 20:57 
Аватара пользователя


28/01/14
351
Москва
Ну, в общем, да. Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group