Точки и линии.

[PSP]

Известно, 2-е точки определяют единственную прямую,5 точек определяют единственную плоскую кривую 2-го порядка.
А сколько точек определяют единственную обыкновенную винтовую линию (ОВЛ)?

[Алексей К.]

Вообще-то, как я заметил, на форуме принято продемонстрировать свои потуги в решении задачек, привести основные формулы, показать, что у Вас не получается, где тупичок случился... Обычно всегда помогают... Правда, для этого пишут немножко в другой раздел форума...

Добавлено спустя 10 минут 2 секунды:

Если хотя бы 3 из заданных точек лежат на одной прямой, то эта прямая ---

[PAV]

Насколько я понимаю, автор темы рассматривает это не как учебную задачу, а просто спрашивает у знающих, известен ли ответ на данный прикладной вопрос...

[Freude]

Я не знаю ответ на Ваш вопрос. Возможно начать стоит с ответа на аналогичный вопрос в отношении синусоиды? Как с ней дело обстоит?

[Алексей К.]

Freude писал(а):

Я не знаю ответ на Ваш вопрос.

Его, скорее всего, и не сыщешь. Вопросы такого рода традиционно ставятся, ИМХО, по отношению к объектам алгебраической геометрии, к которым винтовая линия не относится, но цилиндр, на котором она лежит --- относится. И, конечно, в справочниках это не обсуждается. Это переходит в разряд задачек.

И периодичность, несомненно наложит отпечаток на решение.

[PSP]

Freude писал(а):

Я не знаю ответ на Ваш вопрос. Возможно начать стоит с ответа на аналогичный вопрос в отношении синусоиды? Как с ней дело обстоит?

Я пытался.Похоже, чтобы узнать параметры синусоиды, нужно бесконечное множество точек..

[Алексей К.]

Выбор, по-видимому, между 4 и 5. С осознанием того, что, возможно решения и нет.
А если есть, и строится линия с шагом $\Delta z$, то линия с шагом $\Delta z/n$, $n\mbox{ --- целое}$, тоже будет решением.

По 5 точкам однозначно строится цилиндр (если не ошибаюсь). Далее берём его развёртку --- серенькая полоска, на которой эти 5 точек указаны --- и периодически, с периодом $2\pi R$ к к себе же приклеиваем. Первую точку $(x_0,y_0)$ суём в начало координат. Удастся ли для каждой из остальных найти смещения $j,k,l,m$ --- $(x_1+2\pi jR,y_1)$, $(x_2+2\pi kR,y_2)$, $\ldots$, чтобы уложить их на прямую?
Задачка или тривиальная, или неинтересная или олимпиадная --- Руст знает, скорее всего.
Вчера в бане было настолько скучно, что ежели бы задачка вчера была объявлена, я бы наверное подумал.

Картинка PSP2.jpg, которая была здесь, потеряна.

Допустим, кто-то умный-неленивый продумал до конца и сказал --- нельзя. Тогда остаётся вариант с 4 точками. Мы имеем бесконечно много цилиндров, и может, среди них есть тот, который спасёт ситуацию.

[PSP]

Такой подход связан вот с этой задачей..

[Алексей К.]

Удалено. (АК)

[PSP]

Алексей К. писал(а):

PSP, ну зачем Вы повторяете цитату, когда в этом нет нужды, да ещё и с картинкой внутри?
Право же, это ни к чему и только мешает. Кто-то на принтере лишнюю страничку будет печатать, да и вообще --- как-то иррационально это. Хоть с этим согласитесь сразу?

Согасен.

[Алексей К.]

Так отредактируйте... удалите... модератор уже за углом по моей наводке!

[незваный гость]

Алексей К. писал(а):

Допустим, кто-то умный-неленивый продумал до конца и сказал --- нельзя.

Почему бы и не побороться за это высокое звание

Уравнение прямой на развертке $ y = k x + b$. $b$ нам по барабану, это просто сдвиг вдоль оси $y$. А вот $k$… Если мы положим для простоты окружность цилиндра равной 1, мы имеем для 2х точек (№ 0 и № j ) $y_j-y_0 = k(x_j-x_0 + n_j)$, где $n_j \in \mathbb Z$. Если обозначить разности через $\delta$, имеем $ n_2 \delta y_1 - n_1 \delta y_2 = \delta x_1 \delta y_2 - \delta x_2 \delta y_1$. Что, очевидно, разрешимо в целых $n_j$ далеко не всегда… (слева счётное множество, справа — континуум).

Любопытно, что эти же соображения ставят под сомнение возможность построение винтовой линии через 4 точки. Потому, что мы имеем (по-моему) однопараметрическое семейство цилиндров, а удовлетворить придется два таких соотношения.

С другой стороны, для 3х точек задача неинтересна.

[Алексей К.]

незваный гость писал(а):

$b$ нам по барабану.

"Б нам по БараБану": Пушкин в "Медном Всаднике" тоже использовал этот фонетический приём, только с буквой Р.

А наверное, подобные проблемы возникнут для любой неалгебраической кривой (сколькими точками определяется спираль Архимеда? логарифмическая спираль?). Неявные уравнения $F(x,y)=0$ для этих кривых имеют вид $G(\sqrt{x^2+y^2},\arg(x+\mathrm{i}y))=0$. Кроме известных книг Маркушевича (глава, где рассматриваются гидромех. приложения ТФКП) я никогда и не видел, чтобы кто-то утруждал себя выписыванием этих уравнений. И наш опыт решения этих задачек для кривых вроде $x^3+Ax^2y+Bxy^2+Mxy+\ldots=0$ на неалгебраические кривые так просто не переносится. Собственно, в нормальной жизни, наверное, и задачки такие не возникают...

Добавлено спустя 3 минуты 3 секунды:

Я имел в виду эти книги:
\bibitem{Markushevich}
Маркушевич~А.И., Маркушевич~Л.А. Введение в теорию аналитических функций,
стр.279; М., ``Просвещение'', 1977
(то же в двухтомнике Маркушевич~А.И., Теория аналитических функций,
М., ``Наука'', 1968).

[PSP]

Алексей К. писал(а):

Собственно, в нормальной жизни, наверное, и задачки такие не возникают...

Зато они возникают в физической жизни!

[Алексей К.]

Я и имел в виду нашу нормальную физическую жизнь... Просто известный принцип --- "Господь бог сделал всё нужное простым, а всё сложное --- ненужным" обычно не подводил...