2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сходимость комплексного ряда
Сообщение13.02.2015, 12:35 


29/04/14
139
Добрый всем день!
Есть ряд
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \begin{pmatrix}
 n\\
 3 
\end{pmatrix} \cdot  \frac{x^{2n}}{c_n \cdot (1 + x^{4n}) } $$
Причем последовательность $$c_{n+1} = c_n + 2n^2 +3 , ~~ c_0 = 0$$
Требуется найти все комплесные $x$ при которых данный ряд сходится.

Я нашел в явном виде $$c_n = \frac{10}{3} n - n^2 + \frac{2}{3}n^3 $$
Применил признак Даламбера, и после приведения подобных получил $$ \lim_{ n \to \infty } \frac{x^2 (1+ x^{4n})}{ 1 + x^{4n +4}} $$
Из чего, рассмотрев два случая $|x|>1$ и $|x|<1$ можно получить ответ, который, однако, получается страшный с корнями : $$ x^2 > \frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$ и
$$ x^2 < \frac{1-\sqrt{3}i}{2}$$
Формулу Муавра знаю, но как решать дальше - не знаю. Может я ошибся где-то ?
Что значит вообще на комплексной плоскости $z^2 > a +bi $? У меня в голове это не укладывается: точка больше чем другая точка .

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость комплексного ряда
Сообщение13.02.2015, 13:26 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Признак Даламбера для комплексных рядов — он же с модулями, разве не?
Ну и, зная, что область сходимости такого ряда есть внутренность круга с вопросами по границе, можно начать с действительных $x$, а потом уж переходить к окружности найденного радиуса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость комплексного ряда
Сообщение13.02.2015, 13:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
xolodec в сообщении #977641 писал(а):
$$ x^2 > \frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$
Каков смысл значка ">" в этом выражении?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость комплексного ряда
Сообщение13.02.2015, 13:33 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ничего вообще не надо. Очевидно вообще на всей плоскости, что ряд сходится при всех $|x|<1$ и при всех $|x|>1$ (т.к. в обоих случаях общий член ряда оценивается по модулю убывающей геометрической прогрессией). А при $|x|=1$ так же очевидно, что ряд расходится (кроме тех точек, в которых он вообще не определён) -- общий член ряда заведомо не стремится к нулю: как биномиальный коэффициент, так и коэффициент в знаменателе растут как $n^3$ (причём в последнем случае считать опять же ничего не надо, это следует из общих соображений).

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость комплексного ряда
Сообщение13.02.2015, 14:13 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Виноват. Проглядел, что ряд не степенной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость комплексного ряда
Сообщение15.02.2015, 16:33 


29/04/14
139
iifat в сообщении #977659 писал(а):
Признак Даламбера для комплексных рядов — он же с модулями

Действительно, ошибся, поэтому и поплыл дальше. Спасибо большое.


iifat в сообщении #977659 писал(а):
можно начать с действительных $x$, а потом уж переходить к окружности найденного радиуса.

Так же вроде нельзя делать ? Заменять действительным переменным, а потом перейти к комплексной плоскости ? Даже для степенных рядов нужно сначала найти этот радиус сходимости, но перехода к действительным переменным здесь не делается. Насколько я знаю, радиус можно найти, как функцию от $a_n$, т.е. $R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty \sqrt[n]{|a_n|} }   }$. Можете пояснить, что Вы имели в виду, когда говорили о переходе к действительному $x$ ?


ИСН в сообщении #977661 писал(а):
Каков смысл значка ">" в этом выражении?

Это было моей ошибкой в связи с неверным употреблением признака Даламбера (забыл модуль). Спасибо большое.

ewert в сообщении #977662 писал(а):
в обоих случаях общий член ряда оценивается по модулю убывающей геометрической прогрессией

Потрясающе! Действительно так просто. Спасибо большое, как я сам этого не заметил, не знаю (


Обнаружив в своих познаниях пробелы в области элементарных преобразований с комплексными числами, прошу участников форума проверить, правильно ли я делаю, когда пытаюсь решить задачу через формулу Даламбера (осознал, что путь сложнее, но очень хотелось бы извлечь максимум пользы из примера).

$$\lim_{ n \to \infty } \left| \frac{x^2 (1+ x^{4n})}{ 1 + x^{4n +4}} \right| =  |x^2| \cdot \lim_{ n \to \infty } \left| \frac{1+ x^{4n}}{ 1 + x^{4n +4}} \right| =  |x^2| \cdot \lim_{ n \to \infty } \left| \frac{1/x^{4n}+ 1}{ 1/x^{4n} + x^{4}}  \right| $$
Из последнего соотношения имеем:
$$\begin{cases}
|x^2|>1,&\text{если $|x|>1$;}\\
|x^2|<1,&\text{если $|x|<1$.}
\end{cases}$$

Подскажите пожалуйста, как правильно подходить к решению подобных $|x^k|>s$ неравенств в случае комплексных $x$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость комплексного ряда
Сообщение15.02.2015, 17:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
xolodec в сообщении #978748 писал(а):
как правильно подходить к решению подобных $|x^k|>s$ неравенств в случае комплексных $x$?

Просто вспомнив что $|x^k| = |x|^k$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость комплексного ряда
Сообщение15.02.2015, 17:48 


29/04/14
139
provincialka в сообщении #978759 писал(а):
Просто вспомнив что $|x^k| = |x|^k$

Спасибо вам огромное!
А можете меня, пожалуйста, отослать к литературе, которая могла бы восполнить мои пробелы ?
Для меня это соотношение, как снег на голову.
Заранее спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость комплексного ряда
Сообщение15.02.2015, 17:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
xolodec
В литературе я полный профан, но здесь есть соответствующие темы. Хотя бы это. И еще где-то было.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость комплексного ряда
Сообщение15.02.2015, 18:26 


29/04/14
139
Спасибо всем огромное!! Вы очень мне помогли, спасибо большое!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group