Построить неабелеву группу заданного порядка...

[Юстас]

Как построить неабелеву группу порядка $pq$, где $p$, $q$ - простые и $p|q-1$?

[Someone]

Юстас писал(а):

как построить неабелеву группу порядка $pq$, p, q - простые и $p|q-1$?

А группа перестановок множества из трёх элементов не подойдёт? Там $p=2$, $q=3$.

[Руст]

Если х образующий элемент силовской подгруппы порядка р, y - силовской подгруппы порядка q, то умножение однозначно определяется числом t, где $xyx^{-1}=y^t, \ t^p=1\mod q$. Соответственно, некоммутативные группы (t>1) существуют только при p|q-1.

[Юстас]

Условие $t^p=1 \mod q$ является необходимым для правильного определения структуры группы. А откуда следует достаточность?

[Руст]

Юстас писал(а):

А откуда условие $t^p=1 \mod q$?

$xyx^{-1}=y^t\to x^kyx^{-k}=(..(y^t)^t...)^t=y^{t^k}$
и так как $x^p=e, \ eye^{-1}=y \to t^p=1\mod q.$

[Юстас]

Я уже это понял и исправил предыдущий пост, извиняюсь)

[Dan B-Yallay]

Цитата:

как построить неабелеву группу порядка $pq$, p, q - простые и $p|q-1$

Дигедральная группа не пойдет?
Многоугольник с числом сторон $q$, $q$ - простое. с вращением и отражением. $p = 2$

$p | q-1$