2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Стеореметрия. Нет ли опечатки в задаче? Полное ли условие?
Сообщение12.02.2015, 23:20 


04/03/14
176
Сторона правильного треугольника $ABC$ равна $4$. Треугольник $DBC$ -- равнобедренный ($DB=DC$). Их плоскости взаимно перпендикулярны. Плоскость $ADC$ составляет с плоскостью $ABC$ угол $60^o$. Найдите площадь треугольника $DBC$.

Дело в том, что тут непросто построить линейный угол двугранного угла между плоскостями $ADC$ и $ABC$. В треугольнике $ABC$ высота $BH$ попадает в середину $AC$ (это один перпендикуляр к линии пересечения плоскостей). Вот проблема в том, что в треугольнике $ADC$ высота $DK$ не попадает в середину $AC$ (то есть не совпадает с точкой $H$), а попадает в какую-то левую точку, которую сложно идентифицировать. Как тут быть? Есть ли опечатка? Достаточно ли данных в задаче?

 Профиль  
                  
 
 Re: Стеореметрия. Нет ли опечатки в задаче? Полное ли условие?
Сообщение12.02.2015, 23:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
Данных достаточно. Вспомните теорему о трех перпендикулярах. Высота $BH$ нам не нужна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стеореметрия. Нет ли опечатки в задаче? Полное ли условие?
Сообщение13.02.2015, 00:00 


04/03/14
176
provincialka в сообщении #977476 писал(а):
Данных достаточно. Вспомните теорему о трех перпендикулярах. Высота $BH$ нам не нужна.

А как индентифицировать основание перпендикуляра, проведенного к линии пересечения из точки $D$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Стеореметрия. Нет ли опечатки в задаче? Полное ли условие?
Сообщение13.02.2015, 00:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
Именно по теореме о трех перпендикулярах. Опускайте перпендикуляр из точки $D$ на линию пересечения, то есть на прямую $AC$. Что будет проекцией полученного отрезка на плоскость $ABC$? Как раз по теореме!

 Профиль  
                  
 
 Re: Стеореметрия. Нет ли опечатки в задаче? Полное ли условие?
Сообщение13.02.2015, 00:10 


04/03/14
176
provincialka в сообщении #977487 писал(а):
Именно по теореме о трех перпендикулярах. Опускайте перпендикуляр из точки $D$ на линию пересечения, то есть на прямую $AC$. Что будет проекцией полученного отрезка на плоскость $ABC$? Как раз по теореме!

$MH$, где $M$ -- середина $BC$, верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Стеореметрия. Нет ли опечатки в задаче? Полное ли условие?
Сообщение13.02.2015, 00:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
Именно середина! А под $H$ вы что понимаете? Как ее построить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Стеореметрия. Нет ли опечатки в задаче? Полное ли условие?
Сообщение13.02.2015, 00:50 


10/09/14
138
Картинка в помощь.
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Стеореметрия. Нет ли опечатки в задаче? Полное ли условие?
Сообщение13.02.2015, 02:32 


04/03/14
176
Спасибо, теперь ясно.

Пусть $F$ основание перпендикуляра, опущеного из вершины $D$ на прямую $BC$.

Пусть $E$ основание перпендикуляра, опущеного из вершины $F$ на прямую $AC$.

Тогда $FE$ будет проекцией прямой $DE$ на плоскость $ABC$.

По теореме о трех перпендикулярах из $FE\perp AC$ будет следовать $DE\perp AC$

$\angle FED=60^o$ -- линейный угол двугранного угла между $ADC$ и $ABC$.

$AF=2\sqrt{3}$ по Пифагору

$S_{AFC}=0,5\cdot AF\cdot FC=0,5\cdot AC\cdot FE$

$AF\cdot FC= AC\cdot FE$

$FE=\dfrac{AF\cdot FC}{AC}=\dfrac{2\sqrt{3}\cdot 2}{ 4}=\sqrt{3}$

$DE=2\sqrt{3}$ (катет, лежащий против угла 30 градусов)

$DF=\sqrt{DE^2-FE^2}=\sqrt{12-3}=3$

$S_{DBC}=0,5\cdot  DF\cdot BC=0,5\cdot 3\cdot 4=6$

Ответ: $6$

 Профиль  
                  
 
 Re: Стеореметрия. Нет ли опечатки в задаче? Полное ли условие?
Сообщение13.02.2015, 02:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
Все верно

 Профиль  
                  
 
 Re: Стеореметрия. Нет ли опечатки в задаче? Полное ли условие?
Сообщение13.02.2015, 13:58 


04/03/14
176
Спасибо, что помогли разобраться!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group