Диагонализация матрицы линейного оператора

[4exovenus]

Здравствуйте!
У меня вопрос по поводу диагонализации матрицы линейного оператора. Допустим, имеется матрица оператора размера 3х3, у которого, например, 2 собственных числа (одно из них двойной кратности), дающие 3 собственных вектора. Можно ли тогда, не задумываясь, привести матрицу к диагональному виду путем расположения на главной диагонали собственных чисел? Если да, то в каких случаях нужна формула
$ A' = U^{-1}AU $,
где А - исходная матрица линейного оператора, A' - диагонализированная матрица, U - матрица, составленная из собственных векторов?
Заранее спасибо за ответ!

[ex-math]

Если задача просто написать диагональный вид, то можно. Если же надо указать преобразование, которое в этот вид приводит, тогда и $U$ понадобится.

[svv]

4exovenus в сообщении #976838 писал(а):

Можно ли тогда, не задумываясь, привести матрицу к диагональному виду путем расположения на главной диагонали собственных чисел?

Существование матриц вроде $\begin {pmatrix}7&1&0\\0&7&0\\0&0&3\end{pmatrix}$ учитываете? Здесь только два собственных вектора, но если Вам даны лишь собственные числа, а матрица имеет более запутанный вид, это неочевидно.

[ex-math]

svv
Он написал, что три собственных вектора.

[svv]

(Оффтоп)

ex-math, я это заметил, но всё-таки своё замечание решил высказать. Оно было, скорее, прагматического характера, а не математического. Дело в том, что я не поверил ТС (имея в виду, конечно, честное заблуждение, а не обман), что вопрос о собственных векторах или о диагонализируемости матрицы исследован тем или иным способом, и собственные числа тоже известны, но при этом вопрос о самом диагональном виде остался. Такое возможно, по-моему, только в каких-то искусственно созданных ситуациях, вроде того, что один человек приводит матрицу к нужному виду, а другому сообщает только собственные числа, утаивая всплывающие в ходе исследования «интересные» подробности.

[ex-math]

(Оффтоп)

svv
Он мог найти собственные значения и посмотреть на ранг $A-\lambda E$, но полениться находить собственные векторы и перемножать матрицы.