Сжатие Земли по Ньютону

[Ingus]

Откроем Математические начала натуральной философии / Philosophiae naturalis principia mathematica
Автор: Исаак Ньютон / Isaac Newton , Год: 1989 / 1686 , Издательство: Наука, Москва / Londini , ISBN: 5-02-000747-1
Серия: Классики науки , Страниц: 690 / 496 , Переводчики: Алексей Крылов, Сергей Филонович , Редактор: Лев Полак .
с. 531

Вкратце.
Ньютону известна окружность Земли – $123 249 600 \text{ парижских футов }$ ($ 1 \text { п.ф.} \ = 0,3248 \text { м}$) , и период ее обращения – $23 \text{ ч } 56 \text{ мин } 4 \text{ с } $. Известно также, какое расстояние проходит тело в первую секунду падения на широте Парижа. Далее. Тело, двигаясь по окружности известного радиуса в $19 615 800 \text{ п.ф. }$, получает центробежное ускорение, которое легко найти. Зная, что на тело, падающее в Париже, центробежное ускорение действует под углом, Ньютон находит полную силу тяжести на широте Парижа $48^{\circ}\,50'\,10''\,\text N $, исключая влияние центробежной силы. Эта полная сила тяготения в Париже относится к центробежной силе на экваторе как 289 к 1. Далее он рассуждает: если бы Земля была однородным эллипсоидом вращения, у которого малая ось, проходящая через полюса, относится к большой оси, как 100 к 101, каким было бы отношение силы тяжести на полюсе и на экваторе? Далее идет сложный процесс интегрирования (в комментариях Крылова) по эллипсоиду и шарам, между которыми эллипсоид может быть мысленно заключен. Итог – сила притяжения на экваторе относится к силе притяжения на полюсе как 500 к 501. Ньютон сравнивает вес жидкости в экваториальном и полярном коленах. Земля однородна, следовательно, тяготение в обоих коленах пропорционально расстоянию до центра. Следовательно, отношение веса жидкости в экваториальном колене к весу жидкости в полярном колене равно $\frac{101\cdot 500}{100\cdot 501}$или 505 к 501. Чтобы уравновесить колена центробежная сила в экваториальном колене должна отбирать 4/505 веса. Но поскольку центробежная сила Земли отбирает только 1/289 веса, Ньютон, следуя, как он говорит, «золотому правилу», утверждает, что такая сила способна уравновесить только 1/229 часть от высоты воды в полярном колене. Экваториальный и полярный диаметры относятся как 230 к 229. Вуаля.
Вопрос. Безупречны ли рассуждения Ньютона? 1. Центробежная сила на экваторе считается известной, по крайней мере по отношению к силе гравитации в Париже, и зависит от экваториального радиуса, а его мы и ищем.
2. Гравитационное поле эллипсоида Ньютон рассчитывает исходя из отношения осей 100 к 101, а в действительности они относятся как 229 к 230.
Можно ли, проведя опыты с падением тел на экваторе и полюсе, прийти к другим результатам?

[Pphantom]

Ingus в сообщении #976082 писал(а):

Безупречны ли рассуждения Ньютона? 1. Центробежная сила на экваторе считается известной, по крайней мере по отношению к силе гравитации в Париже, и зависит от экваториального радиуса, а его мы и ищем.

Вполне. Поскольку заведомо известно, что сжатие Земли мало, то соответствующая поправка также будет достаточно малой (а во времена Ньютона попросту неизмеряемой) и ей можно пренебречь.

Ingus в сообщении #976082 писал(а):

Гравитационное поле эллипсоида Ньютон рассчитывает исходя из отношения осей 100 к 101, а в действительности они относятся как 229 к 230.

Вообще говоря, это реализация подбора подходящего начального приближения и его последующего уточнения с испольнованием линейной теории. Та же идея, но в более общем виде, применяется при численном решении уравнений методом Ньютона (просто-таки увидительное совпадение, не так ли?).

Ingus в сообщении #976082 писал(а):

Можно ли, проведя опыты с падением тел на экваторе и полюсе, прийти к другим результатам?

Каким "другим"?

[Ingus]

Pphantom в сообщении #976088 писал(а):

Каким "другим"?

289 и 500 это ключевые значения в расчете Ньютона. 500 - получены "чисто математически" интегрированием однородного гравитирующего эллипсоида. А 289 - "чисто физически" по измерениям на широте Парижа, да еще допуская, что экваториальный радиус равен некому среднему радиусу, известному из градусных измерений на разных широтах.
Проведи мы опыты падения тел не в Париже, а на экваторе и полюсе, возьми мы экваториальный радиус несколько иным (отличным от того, что получен градусными измерениями по меридиану) и получим не 289. Не так ли?

[Pphantom]

Ingus в сообщении #976182 писал(а):

Проведи мы опыты падения тел не в Париже, а на экваторе и полюсе, возьми мы экваториальный радиус несколько иным (отличным от того, что получен градусными измерениями по меридиану) и получим не 289. Не так ли?

Промежуточные результаты будут другими (хотя и ненамного), а итоговый - нет.

[Ingus]

Pphantom в сообщении #976221 писал(а):

Промежуточные результаты будут другими (хотя и ненамного), а итоговый - нет.

Ньютон вычисляет ускорение от действия сил по расстоянию, пройденному в первую секунду: $s=\frac{a t^2}{2}$. В частности, он находит, что на расстоянии в 19615800 футов от центра за секунду тело проходит дугу 1433.46 фута. Берет синус верзус от этой величины (давно забытый синус верзус $versin(\varphi) = 1- \cos \varphi$) и получает 7.54064 линии. Взяв не средний радиус, а экваториальный - 6378.1 км, я получил 7.52 линии, а пересчитав ускорение свободного падения на полюсе в линии получил 2179 линий. Отношение центробежного ускорения к полному гравитационному 289.76 - то на то. Те же 289. Это чудо) Значит все дело в 500 к 501! Что это за магические числа?

-- 10.02.2015, 18:25 --

Кстати справочное отношение тяготения на экваторе к тяготению на полюсе 545 к 546... Вся неоднородность Земли начинается в четвертом знаке отношения гравитации на осях эллипсоида!

[Pphantom]

Ingus в сообщении #976344 писал(а):

Это чудо)

Никакого чуда. Просто посчитайте не итоговое значение, а поправку к нему, вносимую "перемещением" по широте.

[Ingus]

Pphantom в сообщении #976359 писал(а):

Никакого чуда

Чудо состоит в прозорливости Ньютона. Иногда создается впечатление, что ответ он знает заранее, а решение уверенно подводит к нему за пару "итераций".

[Pphantom]

Ingus в сообщении #976485 писал(а):

Чудо состоит в прозорливости Ньютона. Иногда создается впечатление, что ответ он знает заранее, а решение уверенно подводит к нему за пару "итераций".

Ньютон, конечно, великий ученый. Но, вообще говоря, для естественных наук это нормально: если не пытаться получить какой-то требуемый результат сразу и точно, а начать с общих оценок, то на вид со стороны это будет выглядеть весьма похоже.

[Munin]

Я подозреваю, примерно Ньютон это и начал. Не забывайте, что он не только механику разработал, но и добрую половину матанализа, включая некоторые предварительные представления о рядах Тейлора.

Буквально несколькими десятилетиями ранее, до Ньютона, была эпоха Галилея, Кеплера, Тихо Браге - когда исследователи стремились получить "единственно верный" ответ (Кеплер - форму орбит), и хотя осознавали проблемы точности измерений, часто путали экспериментальную незаметность эффекта с его отсутствием вообще. А вот создавать примерные модели и теории - это, как мне кажется, некоторый следующий виток мысли.

[Pphantom]

Munin в сообщении #976645 писал(а):

Я подозреваю, примерно Ньютон это и начал.

Почти. Пожалуй, самым первым все же был Кеплер.

[mihiv]

Земля сплюснута сильнее, чем жидкий шар такого же размера. Это объясняется сейчас как-нибудь?

[Pphantom]

Так ведь вещество Земли не является несжимаемой жидкостью. Просто соответствующее приближение недостаточно хорошее.

[mihiv]

То есть вещество Земли по своим свойствам ближе к твердому телу, но тогда, казалось бы, она должна деформироваться меньше, чем жидкость.

[Munin]

Например, если форма Земли "не успевает", "отстаёт" от формы жидкого тела, которая в свою очередь постепенно эволюционирует от более сжатой к менее сжатой, из-за торможения вращения.

[Pphantom]

mihiv в сообщении #976842 писал(а):

То есть вещество Земли по своим свойствам ближе к твердому телу, но тогда, казалось бы, она должна деформироваться меньше, чем жидкость.

Оно сжимаемое. Так что не так уж "ближе", скорее дальше.