Задача по теории групп

[Felt]

Дана конечная группа $G=(M, \cdot )$, обозначим $d(G)=\min \lbrace |X| | X \subset M, <X> =G \rbrace$
Доказать, что $|G| \geq 2^{d(G)}$.

$2^{d(G)}$ - мощность булеана $P(X)$ минимального множества $X$ такого, что минимальная группа содержащая $X$ это $G$, обозначим его $X_0$. Логично было бы доказать, что существует простое отображение $\varphi : P(X) \rightarrow G$, которое каждому подмножеству $X'$ сопоставляет некоторый элемент из G, который можно записать как слово из элементов из $X'$. Так как простое, то соответственно для подмножеств $X' \neq X''$ $\varphi (X')=\varphi (X'')$. Только как доказать, что существует такое простое отбражение, то есть что из каждого набора элементов можно скомбинировать хотя бы один "уникальный" элемент? Просто натолкните на мысль, если знаете как доказать.

[patzer2097]

Ну если $\{x_1,\ldots,x_n\}$ -- минимальное порождающее множество для $G$, то при любых различных $a,b\in\{0,1\}^n$ верно $x_1^{a_1}\ldots x_n^{a_n}\neq x_1^{b_1}\ldots x_n^{b_n}$.

[Felt]

patzer2097 в сообщении #975171 писал(а):

Ну если $\{x_1,\ldots,x_n\}$ -- минимальное порождающее множество для $G$, то при любых различных $a,b\in\{0,1\}^n$ верно $x_1^{a_1}\ldots x_n^{a_n}\neq x_1^{b_1}\ldots x_n^{b_n}$. И у Вас еще опечатка в условии.

Спасибо, исправил.

А из чего это следует? Почему в X не может лежать целиком какая-нибудь мелкая группа, в которой могли бы осуществляться такие тождества?

[patzer2097]

Felt в сообщении #975177 писал(а):

А из чего это следует?

Из минимальности $X$ по включению. То есть, если указанное мной условие было бы неверно, то один из иксов бы выразился через другие.

[Felt]

patzer2097 в сообщении #975178 писал(а):

Felt в сообщении #975177 писал(а):

А из чего это следует?

Из минимальности $X$ по включению. То есть, если указанное мной условие было бы неверно, то один из иксов бы выразился через другие.

Вот как, надо было сразу написать именно так) Некотрые мысли не доходят сразу. Спасибо

[patzer2097]

Felt в сообщении #975179 писал(а):

Вот как, надо было сразу написать именно так)

Хорошо, буду стараться.