Вторичное квантование

[max077]

Munin в сообщении #974549 писал(а):

Всё правильно.

Легче стало

Теперь момент истины. С точки зрения квантовой механики, энергетические уровни таких мод (осцилляторов) определяются соотношением $E=nh\nu$. Поскольку Вы сказали, что мод в электромагнитном поле бесконечное количество, будет сложнее поставить задачу, поэтому, с Вашего позволения, я опишу случай, в котором поле состоит, скажем, из $1000$ мод, то есть такого количества гармонических осцилляторов.
Из соотношения $E=h\nu$ следует, что энергия каждой такой моды зависит от ее частоты. Самая "верхняя" мода имеет высокую частоту, пусть она соответствует гамма-излучению, а "нижняя" мода, соответственно, это сверхдлинная радиоволна, то есть у нее очень малая частота. Теперь будем менять граничные условия, охлаждая стенки ящика (или же увеличивая его объем, вместо охлаждения, если нету разницы). Постепенно высокочастотные моды окажутся в состоянии $n=0$ (с охлаждением, или увеличиванием объема), одна за другой, и наступит момент, когда только одна мода (самая "нижняя") не будет в таком состоянии.
Надеюсь пример удачный. Теперь, поскольку в реальной теории поле состоит не из конечного числа мод, не значит ли это, что как бы не охладить ящик (насколько бы вселенная не расширилась), останется бесконечное количество низкочастотных мод (осцилляторов), каждая в состоянии $n>0$?

[Munin]

max077 в сообщении #974769 писал(а):

С точки зрения квантовой механики, энергетические уровни таких мод (осцилляторов) определяются соотношением $E=nh\nu$.

Во-первых, физики больше любят писать не $h\nu,$ а $\hbar\omega,$ хотя это почти дело вкуса (в некоторой степени, всё-таки удобства).

Во-вторых, энергетические уровни таких осцилляторов, с точки зрения квантовой механики, определяются всё-таки не так. Я вам уже выписывал правильное соотношение:

Munin в сообщении #973249 писал(а):

$$E_n=(n+\tfrac{1}{2})\hbar\omega=(n+\tfrac{1}{2})h\nu$$

Видимо, вы на него не обратили никакого внимания, раз так легко забыли. И вот это уже действительно неприятно: я пишу не для того, чтобы мои слова вы пропускали мимо ушей.

max077 в сообщении #974769 писал(а):

Теперь будем менять граничные условия, охлаждая стенки ящика (или же увеличивая его объем, вместо охлаждения, если нету разницы).

Разница есть, и очень существенная. Если вы охлаждаете стенки ящика - то вы только воздействуете на физическую систему. А если вы увеличиваете его объём, то сами моды у вас будут меняться - поскольку в формулы и для $\mathbf{E}_\mathbf{k},\mathbf{H}_\mathbf{k},$ и в формулы для $\mathbf{k},$ входят размеры ящика - см., хотя бы, post973263.html#p973263 . То есть, в ящике другого размера - другие моды. То есть, если вы увеличиваете объём ящика, вы меняете саму физическую систему. И надо ещё долго уточнять: а как именно вы её меняете. В одном ящике одни моды, в другом - совсем другие, не родственники и даже не однофамильцы, и как они друг с другом соотносятся? Возникает свобода для того, чтобы задать много очень разных физических условий, причём их физическая осмысленность каждый раз под огромным вопросом - надо придумать конкретную физическую реализацию, иначе это так и останется математическим вымыслом.

max077 в сообщении #974769 писал(а):

Постепенно высокочастотные моды окажутся в состоянии $n=0$ (с охлаждением, или увеличиванием объема), одна за другой, и наступит момент, когда только одна мода (самая "нижняя") не будет в таком состоянии.

Нет. Дело в том, что состояния мод - квантовые. Приведу цитату:

Cos(x-pi/2) в сообщении #971889 писал(а):

Ещё один важный аспект теплового равновесия - наличие флуктуаций. Функции Ферми-Дирака $f_k$ и Планка $n_k$ дают среднее по тепловым флуктуациям число частиц в k-ом состоянии. Число частиц флуктуирует, оно не равно всё время среднему значению. <...> Вероятность $P_n $найти заданное число фотонов n в k-ой моде равна:

$P_n=\dfrac{e^{-n \hbar \omega /k_BT}}{\sum_n e^{-n \hbar \omega /k_BT}}=\dfrac{n_k^n}{(1+n_k)^{1+n}}$ .

Так, при при среднем числе фотонов k-ой моды в полости $n_k=1$ мы с вероятностью $0,5$ не обнаружим ни одного фотона, с вероятностью $0,25$ обнаружим 1 фотон, с вероятностью $0,125$ обнаружим 2 фотона и т.д. Вот на сей счёт картинка из учебника Лоудона "Квантовая теория света":

То есть, на самом деле, во-первых, можно говорить, строго говоря, не о состояниях с $n=\ldots$ (хотя и о них тоже, но не в смысле теплового излучения), а о состояниях с $\langle n\rangle=\ldots$ (простите, мне привычней обозначать усреднение угловыми скобочками, а не чертой - хотя это вопрос вкуса и в некоторой степени удобства). И во-вторых, по мере понижения температуры ни одна мода не достигнет строго состояния $\langle n\rangle=0,$ а будет только стремиться к нему: $\langle n\rangle\to 0.$ График будет "сжиматься" к левому краю, но никогда не станет состоять в точности из одного столбца, а будет подходить к этому состоянию асимптотически.

Для высокочастотных мод это приближение будет совершаться быстрее, для низкочастотных - медленнее.

Но всегда все моды будут находиться в состоянии $\langle n\rangle\ne 0.$

[max077]

Munin в сообщении #974859 писал(а):

Видимо, вы на него не обратили никакого внимания, раз так легко забыли. И вот это уже действительно неприятно: я пишу не для того, чтобы мои слова вы пропускали мимо ушей.

Может я многого не понимаю, но мимо ушей Ваши слова не пропускаю уж точно.

Munin в сообщении #974859 писал(а):

Но всегда все моды будут находиться в состоянии $\langle n\rangle\ne 0.$

Все бесчисленные моды? Понятно, то есть со снижением температуры "значение" $\langle n\rangle$ у более низкочастотных мод будет больше, чем у высокочастотных, но ни у одной моды оно не будет строго нулевым.

[Munin]

max077 в сообщении #974862 писал(а):

Может я многого не понимаю, но мимо ушей Ваши слова не пропускаю уж точно.

Тогда как и почему после моей правильной формулы вы написали неправильную, и откуда её вообще вытащили?

max077 в сообщении #974862 писал(а):

Все бесчисленные моды?

В вашей модельной задаче - все 1000 мод. В реальном поле (даже в конечном ящике) - все бесчисленные моды.

max077 в сообщении #974862 писал(а):

Понятно, то есть со снижением температуры "значение" $\langle n\rangle$ у более низкочастотных мод будет больше, чем у высокочастотных, но ни у одной моды оно не будет строго нулевым.

Да.

Кроме того. Со снижением температуры, $\langle n\rangle$ будет тоже снижаться у всех мод. То есть, и суммарное количество фотонов будет снижаться.

Это обусловлено тем, что у фотонов нет закона сохранения числа частиц. Есть частицы, число которых сохраняется. Тогда картина будет другой: у состояний с более высокой энергией $\langle n\rangle$ будет снижаться, а у состояний с более низкой - расти. Число частиц будет "перетекать вниз" по шкале энергий, как несжимаемая жидкость в сообщающихся сосудах. Ну и в конечном счёте (асимптотически) всё скопится в самом низу.

[max077]

Munin в сообщении #974874 писал(а):

Тогда как и почему после моей правильной формулы вы написали неправильную, и откуда её вообще вытащили?

Не хотелось ошибиться. Вот отсюда.

Munin в сообщении #974874 писал(а):

Кроме того. Со снижением температуры, $\langle n\rangle$ будет тоже снижаться у всех мод. То есть, и суммарное количество фотонов будет снижаться.

Понятно, то есть это зависит от граничных условий. Чем холоднее стенки ящика, тем меньше фотонов внутри, поскольку это напрямую связано с поглотительной-излучающей способностью стенки. Но если увеличивать объем ящика (не охлаждая стенки), будет по другому? Хотя и такое увеличение приведет, как Вы сказали, к изменению самого излучения внутри ящика, в том числе и снижению температуры (последняя реплика-мое умозаключение).

-- 07.02.2015, 16:06 --

Munin в сообщении #974874 писал(а):

То есть, и суммарное количество фотонов будет снижаться.

Ну, если мод бесчисленное количество, то и фотонов столько же

[Cos(x-pi/2)]

max077 в сообщении #974955 писал(а):

Ну, если мод бесчисленное количество, то и фотонов столько же

Здесь Вы совершили типичную ошибку "философа": сделали свой вывод из слов, а не из расчёта; и получили неверный результат.

Расчёт показывает, что имеется конечное среднее число фотонов, суммарное по всему бесконечному количеству мод (т.е. - с частотами $\omega$ от нуля до бесконечности). Пояснение: среднее число фотонов в модах с частотами в интервале $d \omega$ даётся формулой

$dN_{\text{фотонов}}=\dfrac{V \omega^2}{\pi^2 c^3}n(\omega) d \omega$ ,

а суммарное среднее число $N$ фотонов во всех модах равно интегралу от этого выражения по $\omega$ от нуля до бесконечности. Этот интеграл оказывается конечным; ответ:

$N_{\text{фотонов}}=V\frac{2,4}{\pi^2} ( \frac{k_B T}{c \hbar})^3 $ .

В этих формулах $V$ - объём полости, $T$ - температура, $k_B$ - постоянная Больцмана, $c$ - скорость света, $\hbar=h/(2 \pi)$ - постоянная Планка. Безразмерный числовой множитель $2,4$ - умноженное на два значение дзета-функции Римана при значении аргумента, равном трём, записанное здесь с точностью в два знака после запятой; к такому результату приводит вычисление указанного выше интеграла.

[Munin]

max077 в сообщении #974955 писал(а):

Не хотелось ошибиться. Вот отсюда.

Ох.

Придётся рассказать вам страшную правду: все врут. Точнее, не так. Отбросим всяких лжеучёных и неграмотных писак. Тогда, существует много разных изложений одного и того же материала. Они разные по сложности. Те, которые рассчитаны на более простой уровень, имеют всякие упрощения и "срезанные углы". В том числе, доходит до того, что вместо правильной формулы вам дают неправильную. Вместо полной формулировки вам дают неполную. Это делается якобы из добрых побуждений, чтобы не перегружать мозг, и чтобы читатель/слушатель всё равно что-нибудь понял.

И так, все изложения можно рассортировать по степени упрощённости и неправильности. Внизу будут самые популярные рассказы - в них может вообще не быть формул. Их читать легко и весело, как есть конфетки, но то, что там написано, очень далеко от реальности. Потом идут всякие промежуточные объяснения, и наконец, на вершине - полноценные учебники. В учебниках рассказано всё правильно, точно и подробно. Это назначение учебников. Жалости к читателю там нет никакой: пусть выкручивается, раз вляпался.

Но зато тот, кто прочтал учебник, будет смотреть на всё остальное презрительно и свысока. Всё остальное - это недо-знания, полуфабрикат и подделка.

Так вот. Учебники - это обычно книги, бумажные и отсканированные. Некоторые мы в этой теме уже упоминали. Ещё годятся видеозаписи курсов лекций. А Википедия - это не учебник. Даже англоязычная Wikipedia. Wikipedia довольно разнородна, там есть и качественные кусочки, и популярные. Вы наткнулись на популярный. Поэтому там и была неправильная формула.

max077 в сообщении #974955 писал(а):

Понятно, то есть это зависит от граничных условий. Чем холоднее стенки ящика, тем меньше фотонов внутри, поскольку это напрямую связано с поглотительной-излучающей способностью стенки.

Да.

max077 в сообщении #974955 писал(а):

Но если увеличивать объем ящика (не охлаждая стенки), будет по другому? Хотя и такое увеличение приведет, как Вы сказали, к изменению самого излучения внутри ящика, в том числе и снижению температуры (последняя реплика-мое умозаключение).

Как я уже сказал, увеличивать объём ящика можно многими способами.

Если увеличивать размер ящика, не охлаждая стенки, то стенки будут иметь ту же температуру. Тогда излучение внутри ящика меняться не будет. Точнее, будет менятся сама физическая система: будет увеличиваться количество мод. На один и тот же интервал частот будет приходиться больше мод, например, если объём ящика увеличится вдвое, то и количество мод увеличится вдвое. Но энергия на каждую моду заданной частоты - останется той же самой. Так что можно считать в каком-то смысле, что само электромагнитное поле внутри ящика - тоже имеет такую же температуру, постоянную, как бы вы ни меняли размер ящика. Это аналогично тому, как если бы вы взяли какое-то вещество, например, воду, и взяли её в малом и в большом объёме: при одной и той же температуре, тепловые колебания там будут одинаковые.

Теперь. Рассмотрим моду с заданной частотой. Из постоянства температуры, плотность энергии в этой моде должна быть постоянной. То есть, количество джоулей на кубический метр. Но объём ящика меняется, и значит, суммарная энергия во всём ящике - тоже увеличивается. А соотношение $E\sim n\,\hbar\omega$ - справедливо именно для суммарной энергии. Значит, среднее количество фотонов в такой моде будет расти. Получается, что фотоны ведут себя "как будто" газ некоторой постоянной плотности: вы увеличиваете объём, и получаете пропорционально увеличение количества фотонов.

Надеюсь, эти рассуждения помогут вам понять, как решаются все такие задачи, от заданных условий - к ответам и выводам. Для простоты, я писал словами, а не формулами. Формулами было бы точнее и строже.

max077 в сообщении #974955 писал(а):

Ну, если мод бесчисленное количество, то и фотонов столько же :mrgreen:

Нет, это совсем не так. Фотонов может быть конечное количество. Вспомните, например, сумму геометрической прогрессии: членов складывается бесконечно много, а сумма в итоге оказывается конечной. По мере подсчёта, сумма асимптотически стремится к итоговому (предельному) значению.

[max077]

Ох, говорили мне "рано тебе еще делать выводы", "сначала изучи досконально, потом выступай". А я не слушал. Вот и ошибки подкрались. Топорное мышление, если мод бесконечное количество и в каждой моде есть фотоны, то и фотонов бесконечное количество. Придется очень много учиться, чтобы понять, что это не так и почему это не так.

Munin в сообщении #974993 писал(а):

Как я уже сказал, увеличивать объём ящика можно многими способами.

Я строг с собой, поэтому вопрос был глупый. Если бы я помнил про реликтовое излучение, я бы не задал этого вопроса. С расширением вселенной это излучение остывало, но количество фотонов осталось тем же (хоть и изменилась средняя концентрация).

[Munin]

max077 в сообщении #974998 писал(а):

Ох, говорили мне "рано тебе еще делать выводы", "сначала изучи досконально, потом выступай".

Ну, теперь вы понимаете, почему.

max077 в сообщении #974998 писал(а):

Придется очень много учиться, чтобы понять, что это не так и почему это не так.

Ну, "глаза боятся, а руки делают".

max077 в сообщении #974998 писал(а):

Если бы я помнил про реликтовое излучение, я бы не задал этого вопроса. С расширением вселенной это излучение остывало, но количество фотонов осталось тем же (хоть и изменилась средняя концентрация).

Вот почему остывало реликтовое излучение - вопрос отдельный, и его тоже довольно долго объяснять. К тому же, с квантовой теорией поля он никак не связан. Так что я не хотел бы отвлекать вас далеко в сторону.

[max077]

Munin в сообщении #975021 писал(а):

Вот почему остывало реликтовое излучение - вопрос отдельный, и его тоже довольно долго объяснять. К тому же, с квантовой теорией поля он никак не связан. Так что я не хотел бы отвлекать вас далеко в сторону.

Ведь при таком остывании (насколько я понимаю, это связано с расширением вселенной, что приводит к расширению самих мод) число фотонов не меняется и не будет меняться и дальше. Наверное, это довольно сложно понять и связано, скорее всего, с ОТО.

[Munin]

Да, вы правы по обоим пунктам.

[Pphantom]

kira_97 - замечание за дублирование вопроса, помещенного в Карантин. Вопрос отправлен туда же.