Сходимость рядов преобразований Фурье обобщенных функций

[vladimir.zontov]

Друзья, прошу помочь разобраться в сходимости рядов преобразований Фурье обобщенных функций.

Начнем по порядку. В качестве пространства основных функций будет использовано пространство Шварца $S$ — бесконечно дифференцируемых на $ \mathbb{R} $ функций, убывающих при $ |x|\to\infty $ быстрее любой степени $ |x|^{-1} $ вместе со всеми своими производными. Пространство линейных непрерывных функционалов или пространство обобщенных функций над $S$ будет обозначаться $S'$.

Определим пространство $H_p(\mathbb{R})$ как совокупность обобщенных функций $ g\in S'$, преобразования Фурье $\widehat g$ которых, вместе со всеми своими производными $\widehat {g^{(k)}}$, принадлежат пространству $L_p(\mathbb{R})$.

Для некоторой функции $g\in H_p(\mathbb{R})$ рассмотрим ряд $\sum\limits_{l\in \mathbb{Z}} \left|\widehat {g} (\omega+2\pi l)\right|^p$

А теперь, собственно, вопросы:
1) Какие условия должны быть наложены на функцию $g$, чтобы соответствующий ряд сходился равномерно на $\mathbb{R}$.
2) Какой должна быть $g$, чтобы соответствующий ряд не был равен нулю ни в одной точке.

Хороших мыслей у меня нет. Буду благодарен за любые ваши.

[Padawan]

Преобразование Фурье обобщенной функции $g\in S'$ , тоже будет обобщенной функцией из $S'$. Как тогда понимается принадлежность к $L_p(\mathbb R)$?

[vladimir.zontov]

Наверное, в том смысле, что среди всего многообразия преобразований Фурье обобщенных функций будут такие функции, для которых вопрос принадлежности $L_p(\mathbb{R})$ имеет смысл. Соответствующий интеграл существует и конечен $|\int|\widehat{g(t)}|^pdt|^\frac{1}{p}<\infty$. Именно они составляют пространство $H_p(\mathbb{R})$.

[Padawan]

То есть обобщенная функция $\hat g$ должна являться регулярной обобщенной функцией. И то же самое верно для её производных любого порядка. Отсюда следует, что $\hat g$ бесконечно дифференцируема.

[vladimir.zontov]

Согласен, $\hat g$ должна являться регулярной обобщенной функцией. Но гарантирует ли это равномерную сходимость ряда $\sum\limits_{l\in \mathbb{Z}} \left|\widehat {g} (\omega+2\pi l)\right|^p$?
Интуитивно - да. Так как все производные $\widehat {g^{(k)}}$ принадлежат $L_p(\mathbb{R})$, то, очевидно, $\hat g$ имеет "хорошую" скорость убывания.
Ваше мнение?

[Vince Diesel]

В постановке задачи само $g$ и $p$ особо ни при чем. Обозначим $h(\omega)=|\hat {g} (\omega)|^p$, $a_l=\int_0^{2\pi}h(\omega+2\pi l)\,d\omega$. Все, что можно извлечь из условия, это неравенство

$$ \sum_{l\in\mathbb Z}a_l (C|l|+1)^{kp}<\infty $$

для всех $k$. Значит, $a_l$ убывают быстрее любой степенной функции. Поточечно функция $\sum\limits_{l\in \mathbb{Z}} h(\omega+2\pi l)$ может и не сходиться. На множестве меры нуль можно как угодно значения расставить. Но мб ряд сходится почти всюду и с помощью неравенств типа Маркова $ \operatorname{mes}\{|f(x)|>\alpha\}\le\frac1\alpha\|f\|_{L_1}$ получится это доказать.