Логарифмы

[Qazed]

Здравствуйте, наткнулся я на формулу (1) и задумался.

$$\log_a b^{2k} = 2k \log_a |b| \quad (1)$$

Получается уравнение (2) имеет бесконечно много действительных решений.

$$\ln (-e)^x = x \iff x \in \{2k \colon k \in \mathbb Z\} \quad (2)$$

Найти сколь угодно подробное объяснение нюансов применения формулы (3) мне не удалось

$$\log_a b^k = k \log_a b \quad (3)$$

Как видно, она справедлива только для положительного основания, следовательно, не все уравнения можно решать её применением. Помогите разобраться, пожалуйста.

[gris]

Только не действительных, а чётных целых. Если мы заранее объявим, что уравнение мы рассматриваем на множестве чётных целых значений аргумента, то формально все функции в нём будут определены, а само оно превратится в тождество. А если мы будем рассматривать уравнение на множестве действительных чисел, то опять же чисто формально у нас не будет определено возведение в степень, и уравнение не будет иметь решений вообще. Хотя это вопрос схоластический, и возможны различные толкования, не имеющие никакого ни практического, ни теоретического применения.

[Qazed]

Простите, а с каких пор 16 перестало быть действительным числом? И все уравнения, решаемые на $\mathbb R$, перестали иметь решения в $\mathbb Z$?

[ewert]

Qazed в сообщении #971344 писал(а):

Здравствуйте, наткнулся я на формулу (1) и задумался.

$$\log_a b^{2k} = 2k \log_a |b| \quad (1)$$

А где наткнулись-то?

Без контекста запись -- паршивая. А в контексте -- сильно подозреваю, что бессмысленная. Т.е. аффтар, наверное, что-то в душе глубоко имел, однако выйдя из оного -- забыл вытереться.

[Dan B-Yallay]

gris в сообщении #971348 писал(а):

Если мы заранее объявим, что уравнение мы рассматриваем на множестве чётных целых значений аргумента, то формально все функции в нём будут определены, а само оно превратится в тождество. А если мы будем рассматривать уравнение на множестве действительных чисел, то опять же чисто формально у нас не будет определено возведение в степень, и уравнение не будет иметь решений вообще.

Qazed в сообщении #971371 писал(а):

Простите, а с каких пор 16 перестало быть действительным числом? И уравнения, решаемые на $\mathbb R$ перестали решаться на $\mathbb Z$?

Кажется, у Вас где-то импликалка импликация поломалась.

[Qazed]

ewert, была подборка формул в каком-то "Справочнике школьника" (как-то так), уже и не припомню в каком, там оговаривалось лишь то, что $k \in \mathbb Z$ --- собственно вот и весь душ с контекстом. Меня больше волнует формула (3), как самая "часто встречаемая" на просторах школьной математики.

Dan B-Yallay в сообщении #971378 писал(а):

Кажется, у Вас где-то импликалка импликация поломалась.

Не исключено --- возможно поломалась, но опять же чисто формально вопрос был задан о "действительных" решениях, и чисто формально определено возведение в степень.

[ewert]

Qazed в сообщении #971384 писал(а):

была подборка формул в каком-то "Справочнике школьника" (как-то так)

Если в справочнике -- то это уже полнейшее безобразие. Ладно бы ещё по ходу решения конкретной задачки; это ещё можно было бы понять и даже принять.

Qazed в сообщении #971384 писал(а):

Меня больше волнует формула (3),

А вот на её счёт не волнуйтесь. Эта формула вполне стандартна, в рамках общепринятых договорённостей (о коих и речи нет в предыдущем случае).

[Qazed]

ewert в сообщении #971389 писал(а):

А вот на её счёт не волнуйтесь. Эта формула вполне стандартна, в рамках общепринятых договорённостей (о коих и речи нет в предыдущем случае).

Но её применение не позволит найти, например, корень $x=16$, а приведёт к противоречию, хотя подстановка его в исходное уравнение приводит к верному равенству, значит в рамках общепринятых договорённостей является решением.

[Henrylee]

А в школе учат начинать с ОДЗ... И все Ваши псевдопроблемы исчезнут

[Qazed]

Учат, учат.

$$(-e)^x > 0 \iff x \in \{ 2k \colon k \in \mathbb Z\}$$

[arseniiv]

Вот, и после этого вы можете преобразовать $(-e)^{2k} = e^{2k}$, и дальше всё прекрасно.

[Qazed]

Всем спасибо за ответы, теперь понятно.
arseniiv, спасибо. Сам я, увы, не догадался, что $(-e)^{2x} = e^{2x}$, ох.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Что ж, я попытался и не угадал. Спасибо, уместный сарказм.

[Qazed]

Скажу вам по секрету — это был не сарказм, я попросту сглупил и плохо подумал перед тем как спрашивать на форуме. Мне это свойственно, наверное.

arseniiv в сообщении #971974 писал(а):

(Оффтоп)

Что ж, я попытался и не угадал. Спасибо, уместный сарказм.