Сумма ряда.

[Bessel]

Здравствуйте.
Не получается вычислить сумму следующего ряда:

$$\sum\limits_{}^{} \frac{x^{2n-1}}{2n(2n-1)}$$

Дело в том, что как правило я вычислял сумму через разложение общего члена ряда в сумму дробей по средствам метода неопределенных коэфициентов, но в этот раз так сделать неудается.

Какие еще существуют способы? Как можно подойти к решению?

[Brukvalub]

Про дифференцирование степенных рядов слыхивали?

[Bessel]

Испробовал все что мог. Продифференцировать именно сумму ряда у меня не получается никак. Я пытался найти элементарную функцию, при помощи которой можно было бы записать выражение без знака суммы. Самой похожей функцией показалась $arcth(x) = \frac{x^{2n+1}}{1+2n}$, но использовать ее не получилось. Может быть вы сумеете заметить закономерность?

Если продифференцировать основной член ряда, то получается: $\frac{x^{2n-2}}{2n}$.
Если продифференцировать еще раз, то получится: $(n-1)x^{2n-3}$

Будьте так добры, подскажите:
В чем верный ход решения?
Каким признаком сходимости следует воспользоваться?

[ИСН]

Признаком сходимости следует воспользоваться киевским: позвонить дядьке. Дядька сказал: сходится. (Не везде, ну да пока неважно.) И что? Станет яснее?

[Brukvalub]

А вот если перед вторым дифференцированием умножить результат первого дифференцирования на $x^2$?

[ИСН]

Когда лопата выбрасывает комья земли, то нельзя сказать, что копать не получается никак. Копать получается очень даже, только клад пока не нашли. Вы умеете дифференцировать, это факт. Но дифференцировать надо... не сам этот ряд. А сначала умножить его на $x$.

[Bessel]

Примного благодарен!

Из получившегося $x^{2n-1}$ удалось выделить частичную сумму $\frac{x(x^{2}-1)}{x^{2}-1}$. Правда предел последней, при $n\to\infty$ вычисляется скверно.

Все же понемногу получается.

Мы ведь не можем вычислить сумму ряда иначе чем, как через частичную сумму?

[ИСН]

Вы пишете странных вещей. "Частично посчитал 2+2, получилось $15\over5$, сократить нельзя, некогда объяснять."

-- менее минуты назад --

А, нет, я восстановил пропущенное и теперь ясно. Да, так и делайте, предел и всё такое.
К вопросу о сумме... Ну вот ещё недавно известный Вам ряд $arcth(x) = \frac{x^{2n+1}}{1+2n}$; через какую такую частичную сумму было вычислено это выражение?

[Bessel]

ИСН в сообщении #973673 писал(а):

К вопросу о сумме... Ну вот ещё недавно известный Вам ряд $arcth(x) = \frac{x^{2n+1}}{1+2n}$; через какую такую частичную сумму было вычислено это выражение?

Выражение было взято исключительно из заметки в конспекте. Конспект ужасный, допускаю что это может оказаться неверным.

Благодарю за подсказки!