2 ряда

[Hsad]

В наличии 2 ряда. Исследовать на сходимость.
1) $\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac {\sqrt{\ln n}}{n+1}$
Полагаю, что надо использовать признак сравнения. Сравним с $\frac 1 n$. Начинаем подставлять n. Начиная с n=5, выполняется неравенство $\frac {\sqrt{\ln n}}{n+1}>\frac 1 n$, следовательно исходный ряд расходится. Имеет место быть такое решение? И как сильно влияет на решение тот факт, что при $n<5$ неравенство не будет выполняться?
2) $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \sin (\frac {n^2+1}{n})$
Ограниченность синуса:
$0\leqslant \sin(\frac{n^2+1}{n})\leqslant 1$
Не могу же я по эквивалентности "убрать" синус. Вот если бы числитель и знаменатель поменять местами, тогда я б использовал эквивалентность, синус бы улетел, и возможно было бы применение предельного признака сравнения. А здесь как быть? Опять же через признак сравнения, используя ограниченность синуса?

[provincialka]

Hsad в сообщении #970732 писал(а):

Имеет место быть такое решение?

Вполне

Hsad в сообщении #970732 писал(а):

И как сильно влияет на решение тот факт, что при $n<5$ неравенство не будет выполняться?

Никак не влияет. Это не важно.

Hsad в сообщении #970732 писал(а):

Не могу же я по эквивалентности "убрать" синус.

Не можете. Подумайте о необходимом условии сходимости.

[Hsad]

provincialka в сообщении #970737 писал(а):

Hsad в сообщении #970732 писал(а):

Имеет место быть такое решение?

Вполне

Интересно. Показывал преподавателю подобное решение, сказал мне делать через интегральный признак, не сказав при этом, что решено было правильно :)

provincialka в сообщении #970737 писал(а):

Hsad в сообщении #970732 писал(а):

Не могу же я по эквивалентности "убрать" синус.

Не можете. Подумайте о необходимом условии сходимости.

Вычисляя предел получу $\sin \infty$. Но он же периодичен, значит принимает значения от -1 до 1. Хм. Расходится? Но он же может принять и значение 0? И тогда необходимый признак не работает.Не совсем понимаю.

[provincialka]

Можно и через интегральный. Но его обычно применяют, если логарифм в знаменателе.

Hsad в сообщении #970756 писал(а):

Но он же может принять и значение 0? И тогда необходимый признак не работает.

Разве в необходимом признаке условии говорится об отдельных значениях?
Кстати "ваш" синус в ноль не обращается.

[Hsad]

provincialka в сообщении #970760 писал(а):

Разве в необходимом признаке говорится об отдельных значениях?
Кстати "ваш" синус в ноль не обращается.

Честно говоря, наверное, первый раз встретил предел (или уже подзабыл), который равен не какому-то числу/нулю/бесконечности, а который принимает значение от -1 до 1.Т.е. можно указать, что предел принимает значения от -1 до 1, и по необходимому признаку сравнения расходится?

[provincialka]

Hsad в сообщении #970766 писал(а):

Т.е. можно указать, что предел принимает значения от -1 до 1, и по необходимому признаку сравнения расходится?

Нет, предел вообще не существует. Другое дело, как это доказать... Есть, конечно, методы, и здесь на форуме это тоже обсуждалось.

[ewert]

Hsad в сообщении #970766 писал(а):

Т.е. можно указать, что предел принимает значения от -1 до 1, и по необходимому признаку сравнения расходится?

Нельзя. Детали тут даже и не важны -- главное, что признаки сравнения формулируются лишь для рядов с членами определённого знака.

Hsad в сообщении #970756 писал(а):

Показывал преподавателю подобное решение, сказал мне делать через интегральный признак

Сочувствую. Если препод не понимает, что интегральный признак идёт глубоко после признаков сравнения и эталонов к этим признакам, и что подобные задачки отнюдь не на интегральный -- то можно лишь вам (и ему) посочувствовать. Впрочем, не исключено, что он к моменту сочинения просто ещё не успел проснуться.

-- Чт янв 29, 2015 21:39:18 --

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #970770 писал(а):

Другое дело, как это доказать...

но зато это вполне убедительное д-во, что препод таки не проснулся

[provincialka]

Ба! А я и не заметила:

Hsad в сообщении #970766 писал(а):

по необходимому признаку сравнения

Или уж признак сравнения, или необходимое условие. А то монстр какой-то получился.

[ewert]

(Оффтоп)

gris в сообщении #970783 писал(а):

для ряда $\sum\dfrac1{n+1}$. Ведь он же меньше гармонического.

Это-то как раз нормальная реакция. Товарищ, во всяком случае, понимает, что эти признаки работают лишь в одну сторону. А что можно, оторвав задницу от стула, это направление и перевернуть -- так это уж типо высший пилотаж. Нельзя же требовать ото всех быть асами.