Задача про сопротивление бесконечной решетки

[OlegCh]

Существует известная задача про бесконечную решетку. И что-то мне эта задача в последнее время покоя не дает...
Итак, дана плоская бесконечная решетка с квадратным ячейками, каждое ребро которой имеет сопротивление $R_{0}$. Найти сопротивление всей решетки между двумя соседними узлами А и В.



«Классическое» решение (приведенное как в сети, так и во многих задачниках, например Иродова) заключается в том, что на достаточно большом расстоянии от точек А и В (в пределе - на бесконечности) все узлы замыкаются в кольцевой контур и в силу того, что расстояние достаточно велико, считается, что получившаяся замкнутая по периметру решетка оказывается центрально симметричной относительно точек А и В. Далее к точке А подключается некий источник напряжения $+U$, который своим отрицательным выводом подключается к этому удаленному контуру. В результате в точку А втекает некоторый ток $I$ от источника напряжения и далее растекается по всей решетке до контура. В силу принятой симметрии схемы можно утверждать, что через каждое ребро, примыкающее к узлу А, потечет ток величиной $I/4$. Точно такие же рассуждения можно применить и к точке В, но поменяв при этом полярность источника напряжения (к точке В подсоединяем его отрицательным выводом $-U$, а к контуру положительным – что, очевидно, не влияет на рассуждения, просто ток будет течь в обратную сторону). Очевидно, что здесь также через каждое примыкающее к узлу В ребро потечет ток величиной $I/4$. При этом при одновременном подключении рассматриваемых источников напряжения к узлам А и В, через ребро, соединяющее А и В, в силу принципа суперпозиции потечет ток величиной $I/2$, так как токи $I/4$ от каждого источника напряжения будут на этом ребре сонаправлены и, следовательно, сложатся. Из этого делается вывод, что поскольку общий ток $I$ через решетку между узлами А и В делится пополам между ребром АВ и остальной решеткой, то сопротивления ребра АВ и остальной решетки оказываются включены параллельно и имеют одинаковую величину. И поскольку сопротивление ребра равно $R_0$, значит сопротивление остальной решетки тоже $R_0$ и искомое сопротивление между узлами А и В получается равным $R_0/2$.

Покажем теперь, что это решение приводит к противоречию.
Рассмотрим соседние с точкой А узлы 1,2,3,4.



В силу принятой симметрии схемы при подключении источника напряжения между узлом А и удаленным контуром узлы 1,2,3,4 будут иметь одинаковые потенциалы, поэтому их можно соединить. В результате мы получим следующую эквивалентную схему решетки:



Здесь $r$ – сопротивление остальной части решетки между узлами 1,2,3,4 и удаленным контуром.
Таким образом, ток, втекающий в узел А от источника, оказывается равным

$$I=\frac{U}{\frac{R_0}{4}+r}< \frac{U}{\frac{R_0}{4}}=\frac{4U}{R_0}$$

Соответственно ток, протекающий по ребру АВ, будет удовлетворять неравенству

$$I_{AB}=\frac{I}{4}< \frac{U}{R_0}$$

Для узла В рассуждения аналогичны. Таким образом, при подключении обоих источников мы приходим к следующему неравенству для результирующего тока через ребро АВ

$$I_{AB}=2\frac{I}{4}< \frac{2U}{R_0}$$

С другой стороны, разнополярное подключение двух источников напряжения $U$: 1) между А и удаленным контуром и 2) между В и удаленным контуром эквивалентно подключению источника напряжения $2U$ параллельно ребру АВ. При этом по закону Ома для ребра АВ получим

$$I_{AB}=\frac{2U}{R_0}$$

Таким образом, сравнивая два последних выражения мы приходим к противоречию:

$$I_{AB}< I_{AB}$$

Вот где тут собака порылась?..

P.s. Противоречие устраняется, если допустить, что $r\rightarrow 0$ при удалении замыкающего контура в бесконечность. Я не знаю, как посчитать сопротивление между А и бесконечностью, но где-то в сети видел информацию, что оно получается якобы в виде расходящегося ряда...

[rustot]

OlegCh в сообщении #970469 писал(а):

Таким образом, при подключении обоих источников

при подключении обоих источников вы же лишаетесь возможности утверждать об одинаковых потенциалах соседних четырех точек и отменяются следующие из этого выводы. решение на бесконечности строится именно на том основании что на бесконечности можно утверждать об одинаковом нулевом потенциале на бесконечности именно при подключенных обоих источниках

[OlegCh]

rustot в сообщении #970481 писал(а):

OlegCh в сообщении #970469 писал(а):

Таким образом, при подключении обоих источников

при подключении обоих источников вы же лишаетесь возможности утверждать об одинаковых потенциалах соседних четырех точек

Да, согласен. При подключении обоих источников каждый источник для другого представляет собой перемычку и симметрия нарушается. Но ваше замечание навело меня на мысль - так ведь именно эта перемычка и обеспечивает $r=0$, что устраняет возникновение неравенств и самого противоречия! Так выходит?

[rustot]

честно говоря не понял последнюю мысль, если с исчезновением симметрии исчезло и единое $r$ то самим этим уже убралось противоречие

а насчет сопротивления на бесконечности то нет, оно к нулю никак не стремится, скорее к бесконечности, там по моему логарифмическая зависимость от радиуса

[OlegCh]

rustot в сообщении #970509 писал(а):

честно говоря не понял последнюю мысль, если с исчезновением симметрии исчезло и единое $r$ то самим этим уже убралось противоречие

Что-то я поторопился... Вернемся к "классическому" решению. Там ведь тоже используется симметрия (когда находится $I_{AB}=I/4$) даже при одновременном подключении (когда два $I/4$ складываются и получается $I/2$). Видимо уже это не корректно?

[rustot]

так на бесконечности то и есть симметрия, чем дальше от источников тем меньше разность потенциалов вдоль окружности, на бесконечности строго нулевая разность

[OlegCh]

rustot в сообщении #970545 писал(а):

так на бесконечности то и есть симметрия, чем дальше от источников тем меньше разность потенциалов вдоль окружности, на бесконечности строго нулевая разность

Это-то понятно. Не понятен переход $I/4+I/4=I/2$ без нарушения симметрии в каноническом решении. Ведь это и приводит к противоречию.

[DimaM]

OlegCh в сообщении #970576 писал(а):

Не понятен переход $I/4+I/4=I/2$ без нарушения симметрии в каноническом решении.

Что должны означать слова "без нарушения симметрии"? Просто складываются токи по принципу суперпозиции.

OlegCh в сообщении #970576 писал(а):

Ведь это и приводит к противоречию.

Насколько я понимаю, исходная задача вовсе не эквивалентна подключению "через бесконечность". Поэтому связанные с таким подключением рассуждения просто не относятся к исходной задаче. Как тут уже верно заметили, сопротивление "к бесконечности" бесконечно.

[OlegCh]

DimaM в сообщении #970616 писал(а):

Что должны означать слова "без нарушения симметрии"? Просто складываются токи по принципу суперпозиции.

Имеется в виду, что для того, чтобы можно было так складывать (чтобы токи через ребро АВ от каждого источника оставались равны $I/4$ при подключении двух источников одновременно) необходимо чтобы сохранялась центральная симметрия схемы (т.к. величина $I/4$ была получена для одного источника как раз исходя из симметри). А у нас она, как заметил rustot, нарушается так как каждый источник шунтирует часть схемы.

-- 29.01.2015, 18:34 --

Я вот сейчас подумал... А действительно ли нарушается симметрия схемы при подключении второго источника? Вот посмотрите-ка на второй рисунок. Он нарисован в предположении одного источника. А теперь представим себе, что между красным кольцом и далеким контуром мы включаем еще какое-то сопротивление (внутреннее сопротивление второго источника, или просто перемычку, если мы рассматриваем идеальный источник). Нарушилась ли симметрия? Да вроде бы, нет. Можно даже представить себе четыре перемычки между каждым узлом 1,2,3,4 и контуром. Тогда вообще все симметрично будет выглядеть. И сразу наше $r$ становится равным 0 и всё тогда сходится. Так получается?

Да, вроде бы так. Тогда ток, потребляемый от одного источника, будет равен (см. эквивалентную схему, в которой $r=0$) $4U/R_0$; ток через ребро АВ от этого источника получится $U/R_0$. От второго источника то же самое, а от двух вместе $2U/R_0$, как если бы мы просто подключили источник $2U$ между А и В. Ну вот теперь, вроде бы, всё стало ясно. Всё ж таки "классическое" решение немножко некорректно.

[OlegCh]

Нет, всё-таки какая-то ерунда... Сомнения вызывает то, что второй источник я подключаю к красному кольцу (в узел 2 или В), т.е. уже после того, как подключен первый и установлена симметрия схемы. Но если бы оба источника были подключены изначально и мы начинаем анализировать схему после этого, то никакой симметрии уже не получается и все наши рассуждения разваливаются. То есть получается что решение (точнее, его простота) зависит от того, подключаются ли источники одновременно или неодновременно. Как-то мне это кажется немного странным.

Что-то я тут сам с собой разговаривать начинаю... Подключайтесь, коллеги, хочется услышать ваше мнение.