Куб, вписанный в эллипсоид

[spctr]

Дан многомерный эллипсоид $x^T P^{-1} x \le 1$, хочется найти максимальный вписанный кубик, или по сути такое $r$, что

$$\lbrace x \in \mathbb{R}^n : \| x \|_{\infty} \le r \rbrace \subseteq \lbrace x \in \mathbb{R}^n : x^T P^{-1} x \le 1 \rbrace$$

Ничего умнее максимизации $r$ при условии, что все вершины куба $v^T P^{-1} v \le 1$ не придумал. Но это экспонента. Сдаётся мне, что лучше ничего нет, но так ли это? Нет ли какого-нибудь аналога S-процедуры для таких задач?

[ewert]

А всякий ли даже и параллелепипед (прямоугольный) можно вписать в эллипсоид?...

(эта задачка тут где-то уже бродила)

[ИСН]

Растяжением превращаем его в шар. Вписанный остаётся вписанным, параллелепипед - параллелепипедом, максимум - максимумом.