Доказать неравенство a^n+b^n

[NiLi]

Доказать, что для любых неотрицательных чисел $a, b$ справедливо:
$a^n+b^n\geqslant a^kb^{n-k}+b^ka^{n-k}$$
Мной были испробованы методы:
1)Мат индукции
2)$a^n+b^n\leqslant(a+b)^n$
$(a+b)^n=\binom{0}{n}a^n+...+\binom{k}{n}a^{n-k}b^k+...+\binom{n}{n}b^n$
$(b+a)^n=\binom{0}{n}b^n+...+\binom{k}{n}b^{n-k}a^k+...+\binom{n}{n}a^n$
$2(a+b)^n>\binom{k}{n}a^{n-k}b^k+\binom{k}{n}b^{n-k}a^k>a^{n-k}b^k+b^{n-k}a^k$

[Lia]

NiLi
Исправьте первую формулу. В середине не должно остаться знаков доллара.

[ИСН]

тупо выпуклость же

[mihailm]

на множители разложить все

[ИСН]

на множители не всегда можно

[ewert]

Доказать, что для любых неотрицательных чисел $a, b$ справедливо:
$a^n+b^n\geqslant a^kb^{n-k}+b^ka^{n-k}$

Достаточно рассмотреть случай $b=\frac1a$.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Говорили ведь исправить формулу.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[cool.phenon]

(Оффтоп)

Для мажоров можно было сказать, что выписано неравенство Мюрхеда для наборов $(n,0),(n-k,k)$