Фактор-пространство R/Q?

[x0rr]

известно, что фактор-пространство $\mathbb{R}$ по $\mathbb{Z}$ представляет из себя (одномерный) тор
$T^1= S^1 = \mathbb{R}/\mathbb{Z}$
интересно, что будет представлять из себя фактор $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$?
вообще является ли $\mathbb{Q}$ нормальным делителем $\mathbb{R}$?

если есть ссылки, было бы вообще в тему

[x0rr]

рациональные всюду плотны, а целые нет
и что же за "тор" получится?

[dm]

x0rr писал(а):

вообще является ли $\mathbb{Q}$ нормальным делителем $\mathbb{R}$?

Замечательный вопрос исходя из того, что $\mathbb{R}$ по сложению является абелевой группой.

А вообще стоило бы различать понятия факторпространства топологического пространства по отношению эквивалентности, факторпространства векторного пространства по подпространству и факторгруппы группы по нормальной подгруппе.

[x0rr]

dm
да я понял, для абелевой группы все её подгруппы нормальны очевидно
а вот насчет структуры фактор-пространства?
скажем, топологического, меня в первую очередь интересует именно эта тема
спасибо
но если есть ссылки, то я сам разберусь

[Someone]

x0rr писал(а):

а вот насчет структуры фактор-пространства?
скажем, топологического, меня в первую очередь интересует именно эта тема

А фактор-пространство $\mathbb R/\mathbb Q$ имеет антидискретную топологию: открыты только пустое множество и всё $\mathbb R/\mathbb Q$. Это следует из определения топологии фактор-пространства.

[x0rr]

спасибо
является ли отображение $\mathbb{Q}\times[0;1]\to\mathbb{R}$ биекцией, или может быть это $\mathbb{Q}\times(0;1)\to\mathbb{R}$?
получается что-то типа гомотопии вложения $\mathbb{Q}\to\mathbb{R}$, если конечно можно пользоваться термином гомотопия для данного типа отображений, а можно ли им пользоваться?
может ссылочки есть на manual по этой теме, чтоб прям сейчас и разобраться?

[Someone]

x0rr писал(а):

является ли отображение $\mathbb{Q}\times[0;1]\to\mathbb{R}$ биекцией, или может быть это $\mathbb{Q}\times(0;1)\to\mathbb{R}$?

О каких именно отображениях идёт речь? Я не умею читать мысли.

x0rr писал(а):

получается что-то типа гомотопии вложения $\mathbb{Q}\to\mathbb{R}$, если конечно можно пользоваться термином гомотопия для данного типа отображений, а можно ли им пользоваться?

Непрерывное отображение $X\times[0;1]\to Y$ можно считать гомотопией. И, разумеется, здесь можно взять $X=\mathbb Q$ и $Y=\mathbb R$.

x0rr писал(а):

может ссылочки есть на manual по этой теме, чтоб прям сейчас и разобраться?

Литературы по общей топологии, как будто бы, довольно много. Поищите в библиотеке. Например, П.С.Александров, П.С.Александров и Б.А.Пасынков, К.Куратовский, том 1 и К.Куратовский, том 2, Дж.Л.Келли, Р.Энгелькинг, и даже А.Т.Фоменко и Д.Б.Фукс, если Вас интересует гомотопическая топология. Это то, что мне пришло в голову сразу.