Еще раз о тензорном произведении

[scwec]

Конечно, эта книга Н.Бурбаки у меня перед глазами и глава 3 в ней называется Полилинейная алгебра.
(В предыдущем сообщении название главы поправил).
Именно на эту главу ссылался С.Стернберг (без упоминания русского названия книги).

[Oleg Zubelevich]

В качестве приложения данной теории предлагается следующая верссия теоремы о множителях Лагранжа для билинейных отображений.

Рассмотрим векторные пространства $X, Y,G,H$. И пусть $a:X\times Y\to G$ билинейная сюръекция; отображение $b:X\times Y\to H$ тоже билинейно.

Утверждение. Предположим, что

$$\sum_{i,j}a(x_i,y_j)=0\Longrightarrow \sum_{i,j}b(x_i,y_j)=0,$$

суммирование ведется по конечному набору индексов.
Тогда существует линейное отображение $\Lambda:G\to H$ такое, что $b=\Lambda a$.

Действительно, $a=\tilde a\varphi,\quad b=\tilde b\varphi$, где $\varphi:X\times Y\to X\otimes Y$ -- каноническое отображение, а $\tilde a:X\otimes Y\to G,\quad \tilde b:X\otimes Y\to H$ -- линейные отображения. Причем по условию $\ker \tilde a\subseteq\ker\tilde b$. Теперь утверждение следует из стандартного факта: $\tilde b=\Lambda\tilde a$.

зы жалко я диаграммки рисовать не умею, здесь это тоже было бы уместно

[Munin]

scwec
Тогда скажите, там такое же отточенное изложение, как у Стернберга, или нет. Это и будет ответом на ваш вопрос.

-- 29.01.2015 19:50:22 --

Oleg Zubelevich в сообщении #970717 писал(а):

зы жалко я диаграммки рисовать не умею, здесь это тоже было бы уместно

"Коммутативные диаграммы" by Someone
в конце одной из стандартных тем FAQ.

[scwec]

Не берусь делать выводы, сравнивая тексты Н.Бурбаки и С.Стернберга.
Но сейчас посмотрел список статей в наших академических журналах, в тексте которых присутствуют слова
"тензорное произведение" и очень бегло их содержание. Похоже, в современном виде они начинают появляться
не раньше 60-х годов.
Так что, вполне может быть, что Бурбаки были первыми. Но не факт.

[g______d]

Инвариантное определение, конечно, интересно и правильно само по себе. Но основная его ценность в том, что оно обобщается с векторных пространств на абелевы группы и модули над произвольным кольцом.

И в связи с этим я нашел статью, в которой дается ссылка на другую статью Уитни 1938 года, в которой введено тензорное произведение абелевых групп (т. е. модулей над $\mathbb Z$).

-- Чт, 29 янв 2015 17:38:37 --

Другая ссылка на Уитни, вроде бы без paywall:

http://www.scribd.com/doc/172981416/Has ... ups#scribd

[Padawan]

Oleg Zubelevich в сообщении #970717 писал(а):

Рассмотрим векторные пространства $X, Y,G,H$. И пусть $a:X\times Y\to G$ билинейная сюръекция; отображение $b:X\times Y\to H$ тоже билинейно.

Условие сюръекции лишнее вроде?

[Oleg Zubelevich]

возьмите в качестве $G$ образ $a$ -- будет сюръекция. там при условии сюръективности единственности $\Lambda$ быть не должно кстати?

[Padawan]

Да, будет единственно тогда и только тогда, когда $a$ является сюръекцией.

[Oleg Zubelevich]

g______d в сообщении #970998 писал(а):

Но основная его ценность в том, что оно обобщается с векторных пространств на абелевы группы

основная ценность -- вещь субъективная. думаю, что функанщик скажет , что основная ценность в том, что есть такой объект как $X\widehat\otimes Y$ для лвп

[Padawan]

Oleg Zubelevich
А что это такое?

[Oleg Zubelevich]

Пусть $X,Y$ -- локально выпуклые пространства. Сильнешая локально выпуклая топология в $X\otimes Y$ при которой каноническое отображение $X\times Y\to X\otimes Y$ непрерывно называется проективной топологией. Крышка над значком тензорного ппроизведения -- это пополнение по этой топологии