Определение тензора

[ldsj]

У Кострикина в книге "Линейная алгебра" (2000 г.) написано:

Цитата:

Всякое $(p+q)$-линейное отображение $f: V^p \times (V^*)^q \to \Re $ называется тензором на $V$ типа $(p,q)$...
Говорят также, что $f$ - смешанный тензор, $p$ раз ковариантный и $q$ раз контравариантный.

В то же время, в другой книге такой тензор называли $p$ раз контравариантным и $q$ раз ковариантным. В других источниках (например - Кострикин, Манин) тензор определяется вообще через тензорное произведение (которое я еще не учил), и там определние звучит следующим образом:

Цитата:

Любой элемент тензорного произведения $T_{p}^{q}(L)=\underset{p}{\underbrace{L^*\otimes ...\otimes L^*}} \otimes \underset{q}{\underbrace{L \otimes...\otimes L}}$ называется тензором на $L$ типа $(p,q)$...Говорят также, что он является смешанным тензором, $p$ раз ковариантным и $q$ раз контравариантным.

(хотя кажется, что в последнем случае $p$ относится к сопряженному пространству, а не к исходному как в первом примере).

Так у кого ошибка? Как правильно называть тензор типа $f: V^p \times (V^*)^q \to \Re $?

[Oleg Zubelevich]

цитированные определения эквивалентны

[Munin]

ldsj в сообщении #968330 писал(а):

В то же время, в другой книге такой тензор называли $p$ раз контравариантным и $q$ раз ковариантным.

Обратите внимание, что здесь тензором называется не элемент пространства, а функция из этого пространства в $\mathbb{R}.$

Например, возьмём самый простой случай. Элемент пространства $V$ - это вектор (то есть, 1 раз контравариантный, и 0 раз ковариантный тензор). А элемент пространства линейных отображений $V\to\mathbb{R}$ - это уже ковектор (то есть, 0 раз контравариантный и 1 раз ковариантный тензор).