Фундаментальное различие

[Dmitry Tkachenko]

Показать, что слабая полнота и сeквенциально слабая полнота отличаются в слабой топологии, введенной на нормированных пространствах.

Интересно, что довольно часто путают слабую и сeквенциально слабую полноту нормированных пространств. Дело в том, что эти понятия действительно совпадают, если пространство метризуемо. А вот в слабой топологии...

Как пример, Oleg Zubelevich постил задачу о том, что если нормированное пространство слабо полно, то оно конечномерно.

[Oleg Zubelevich]

вот пространство $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ основных функций неметризуемо. Однако, всегда, когда доказывают непрерывность каких-нибудь функционалов на этом пространстве, рассматривают последовательностти. А почему спрашивается? Подозреваю, что этим вопросом тоже можно озадачить, и подозреваю, что не только студента, но и среднестатистического юзера функционалного анализу Вот Padawan знает почему.

-- Пн янв 26, 2015 18:06:42 --

Сюда же. Вот я почти уверен, хотя доказательства не писал, что если $X$ нормированное пространство, то его слабое пополнение совпадает с $(X')^*$