Равноправность переменных в уравнении

[Nurzery[Rhymes]]

Меня удивляет, что переменные в дифуре можно считать равноправными. То есть нас одинаково устроит результат, в котором $y$ зависит от $x$ или $x$ зависит от $y$.
Если рассмотреть функцию $y=x^2$, то функция $x=y^{\frac{1}{2}}$ будет совсем непохожа на нее. Первая функция - это парабола, а вторая - половина параболы на боку (если можно назвать параболой эту функцию). Очевидное сужение области определения и области значений этой функции по сравнению с исходной. Тогда почему решения дифуров $y(x)$ и $x(y)$ одинаково нам подходят?

В мейпле, например, обязательно надо указать, что от чего зависит.

Вообще говоря, мы ищем функцию $u=f(x, y)$, где $x$ и $y$ - координаты. В трехмерном пространстве $x$ и $y$ это не функции. Это координаты. Но когда мы рассматриваем решение вида $y(x)$, одна из координат вдруг становится функцией, а другая остается независимой переменной. При этом решение находится в пространстве размерности на 1 ниже.

У меня каша в голове, помогите разобраться.

[VanD]

Регулярная кривая на плоскости с координатами $(x, y)$ локально может быть представлена как кривая-график так и неявно - как множество уровня гладкой функции $F(x, y)$. Например, в виде $y - f(x) = 0$. Фактически за счёт этого Вы подменяете изначальную задачу нахождения функций $y = f(x)$ на задачу находжения семейства кривых на плоскости $\mathbb R^1 \times \mathbb R^1$ с координатами $(x, y)$. Если повезёт ($f' \neq 0$ в рассматриваемой точке), то такая кривая может быть локально разрешена и в виде $x = f^{-1}(y)$. Ну и выражение для производной $\frac {dx}{dy}$ тоже из теоремы о неявной функции берётся.

[Утундрий]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #967787 писал(а):

Если рассмотреть функцию $y=x^2$, то функция $x=y^{\frac{1}{2}}$ будет совсем непохожа на нее.

Сделать их похожими поможет замечательная функция $y=x$. Добавьте её график к графикам первых двух и созерцайте результат до просветления.

[Nurzery[Rhymes]]

Утундрий в сообщении #967818 писал(а):

Nurzery[Rhymes] в сообщении #967787 писал(а):

Если рассмотреть функцию $y=x^2$, то функция $x=y^{\frac{1}{2}}$ будет совсем непохожа на нее.

Сделать их похожими поможет замечательная функция $y=x$. Добавьте её график к графикам первых двух и созерцайте результат до просветления.

Я не строил прямо сейчас эти графики, но и так вижу симметрию того, о чем вы говорите. Похожими они от этого не стали. Вторая функция слишком ущербная по сравнению с той, из которой она получена. Области определения разные.

[provincialka]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #967787 писал(а):

$y=x^2$, то функция $x=y^{\frac{1}{2}}$ будет совсем непохожа на нее. Первая функция - это парабола, а вторая - половина параболы на боку (если можно назвать параболой эту функцию).

Половина -- да, на боку -- нет. Если направить оси $Ox,Oy$ как обычно. Вторая линия -- кусок первой.

Насчет области определения -- да, разные. Значит, во втором случае надо написать два решения, $x=\pm\sqrt y$

[arseniiv]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #967820 писал(а):

Вторая функция слишком ущербная по сравнению с той, из которой она получена. Области определения разные.

Да не потому ж она плоха, что область определения маленькая, а потому что обратная к ней — это (нетривиальное) сужение первой.

[Nurzery[Rhymes]]

Но ведь они во всем разные, а не только в области определения. Например, скорость точки, движущейся по одной кривой и по другой, будет разным. В первом случае $f' = 2x$, во втором $f' = \frac{1}{2}y^{-\frac{1}{2}$

[provincialka]

А что такое $f'$, по какой переменной? И почему это скорость?

[Nurzery[Rhymes]]

provincialka в сообщении #967830 писал(а):

А что такое $f'$, по какой переменной? И почему это скорость?

В первом случае по $x$, во втором по $y$. Потому что первая производная - это скорость изменения функции.

[provincialka]

И чем же вы недовольны? От разных функций по разным переменным получились разные производные. А почему бы им быть одинаковым?

[Nurzery[Rhymes]]

provincialka в сообщении #967835 писал(а):

И чем же вы недовольны? От разных функций по разным переменным получились разные производные. А почему бы им быть одинаковым?

Ну если бы функции были похожими, то и производные были бы похожими.
Допустим, решая некий дифур, можно получить функцию $y=x^2$, а можно $x=\sqrt{y}$. В зависимости от того, какую функцию мы ищем. Но физическая система ведет себя вполне определенным образом, она не может вести себя иначе оттого, что решение дифура изменится от нашего выбора, что считать основной переменной, а что зависимой. А получается, что изменится, потому что $y(x)$ и $x(y)$ - это разные функции.

[arseniiv]

Nurzery[Rhymes]
Мало того, даже если вы возьмёте интегральные кривые и будете там искать «скорость», там вообще у вас могут для одной и той же (как множества точек) кривой получаться всё время разные скорости, какую точку ни взять — из-за того что параметризация не единственна (для этого как раз существует натуральная параметризация, которая делает скорость везде, где она определена, единицей по модулю).

Nurzery[Rhymes] в сообщении #967837 писал(а):

А получается, что изменится, потому что $y(x)$ и $x(y)$ - это разные функции.

Функции разные, связь между величинами $x$ и $y$ одна.

[provincialka]

Я, конечно, не физик, но скорость -- это производная по времени. А не по другой (произвольной) координате.

[arseniiv]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #967837 писал(а):

Но физическая система ведет себя вполне определенным образом, она не может вести себя иначе оттого, что решение дифура изменится от нашего выбора, что считать основной переменной, а что зависимой.

Ну и берите решение сразу в виде интегральных кривых, чего вы к функциям прицепились.

[Утундрий]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #967837 писал(а):

$y(x)$ и $x(y)$ - это разные функции.

Ничего подобного. Это одна и та же функция, просто по разному записанная.