Ошибка полиномиальной интерполяции

[B@R5uk]

Проверьте, пожалуйста, правильность доказательства теоремы:

Теорема (об ошибке полиномиальной интерполяции).
Пусть $f\left( x \right)$ — функция из ${{C}^{n+1}}\left[ a,b \right]$ и пусть $p\left( x \right)$ — полином степени $n$, который интерполирует функцию $f\left( x \right)$ в $n+1$ отличной друг от друга точке ${{x}_{0}},{{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{n}}\in \left[ a,b \right]$. Пусть $g\left( x \right)$ — так же функция из ${{C}^{n+1}}\left[ a,b \right]$, которая в указанных точках интерполяции (и только в них на отрезке $\left[ a,b \right]$) обращается в нуль, а её производная ${{g}^{\left( n+1 \right)}}\left( x \right)$ отлична от нуля всюду на отрезке $\left[ a,b \right]$. Тогда для любой точки $x\in \left[ a,b \right]$ существует такая точка $\xi \in \left[ a,b \right]$, что:

$$\[f\left( x \right)-p\left( x \right)=\frac{{{f}^{\left( n+1 \right)}}\left( \xi \right)}{{{g}^{\left( n+1 \right)}}\left( \xi \right)}g\left( x \right)\]$$

Доказательство.
Если точка $x$ является одной из точек интерполяции ${{x}_{k}}$, то правая и левая части равенства обращаются в нуль, и утверждение теоремы истинно. Теперь предположим, что $x\ne {{x}_{k}}$, $k=\overline{0,n}$. Введём функцию

$$\varphi \left( t \right)=f\left( t \right)-p\left( t \right)-\frac{f\left( x \right)-p\left( x \right)}{g\left( x \right)}g\left( t \right)$$

Функция $\varphi \left( t \right)\in {{C}^{n+1}}\left[ a,b \right]$, а так же обращается в нуль в $n+2$ отличных друг от друга точках: в точках интерполяции и в точке $x$. По теореме Ролля производная ${\varphi }'\left( t \right)$ обращается в нуль в $n+1$ различной точке. Кроме того, производная ${\varphi }'\left( t \right)\in {{C}^{n}}\left[ a,b \right]$, следовательно, так же удовлетворяет теореме Ролля, и вторая производная ${\varphi }''\left( t \right)$ обращается в нуль в $n$ различных точках. Продолжая таким образом получим, что на отрезке $\left[ a,b \right]$ существует такая точка, назовём её $\xi $, в которой производная ${{\varphi }^{\left( n+1 \right)}}\left( t \right)$ обращается в нуль. Выражение для производной:

$${{\varphi }^{\left( n+1 \right)}}\left( t \right)={{f}^{\left( n+1 \right)}}\left( t \right)-{{p}^{\left( n+1 \right)}}\left( t \right)-\frac{f\left( x \right)-p\left( x \right)}{g\left( x \right)}{{g}^{\left( n+1 \right)}}\left( t \right)$$

Но $p\left( x \right)$ — полином степени $n$, поэтому ${{p}^{\left( n+1 \right)}}\left( t \right)\equiv 0$, и:

$${{\varphi }^{\left( n+1 \right)}}\left( \xi \right)={{f}^{\left( n+1 \right)}}\left( \xi \right)-\frac{f\left( x \right)-p\left( x \right)}{g\left( x \right)}{{g}^{\left( n+1 \right)}}\left( \xi \right)=0$$

Отсюда окончательно получаем:

$$f\left( x \right)-p\left( x \right)=\frac{{{f}^{\left( n+1 \right)}}\left( \xi \right)}{{{g}^{\left( n+1 \right)}}\left( \xi \right)}g\left( x \right)$$

[TOTAL]

Смотрите, например, "А.М. Островский. Решение уравнений и систем уравнений." Это теорема об отношении функций, имеющих общие корни.

[B@R5uk]

Спасибо, там действительно есть похожая, но чуть более общая теорема. На самом деле приведённая мной теорема и доказательство практически полностью скопированы отсюда. Я только вместо фиксированной функции

$$\begin{matrix} g\left( x \right)=\prod\limits_{k=0}^{n}{\left( x-{{x}_{k}} \right)} \\ {{g}^{\left( n+1 \right)}}\left( x \right)\equiv \left( n+1 \right)! \\ \end{matrix}$$

попытался взять произвольную, но чтобы теорема оставалась в силе. Значит, я всё правильно сделал?