Я просто не понимаю, как высчитывается

т.е. ищется такой элемент, что бы при выполнение операции умножения

на

получилось число 9?
Конечно.
Далее к кратным дробям. Предположим, что мы ищем значение выражения

, назовём его

. Возведём

в степень

, получим

.
Т.е. имеем уравнение

. А раз мы ищем

, значит мы ищем корень p-ой степени от

. Т.е., действительно такое число, которое при перемножении на себя

раз даёт

.
P.S.
Т.е., начинается всё с предположения, что для нового класса чисел (рациональные) действуют те же правила, что для старого (целые), в данном случае, перемножение последовательного применения степеней, и выводится смысл операции через уже известные правила для целых.