2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Группа кватернионов Q8
Сообщение22.01.2015, 14:02 
Здравствуйте, участники форума. Рассмотрим группу $GL_2(\mathbb{Q})$ и группу кватернионов $Q_8$. Нашу группу кватернионов можно рассматривать как $Q_8 = \lbrace a, b : \ a^4 = 1, \ a^2 = b^2, \ a^{-1} = b^{-1} a b \rbrace$ (или $Q_8 = \lbrace 1, \ a, \ a^2, \ a^3, \ b, \ ab, \ a^2 b, \ a^3 b | \ a^4 = 1, \ a^2 = b^2, \ b a = a^3 b \rbrace$). Мне нужно показать, что $Q_8$ не является конечной подгруппой группы $GL_2(\mathbb{Q})$. Мне бы подсказку как начать :-) . Я даже не знаю какую свою идею предложить. Может как-то через представление группы $Q_8$. Заранее, спасибо. :-)

 
 
 
 Re: Группа кватернионов Q8
Сообщение22.01.2015, 14:12 
Аватара пользователя
Когда не знаешь, надо тыкать во все кнопки и дёргать за все рычаги - и обязательно полетишь.
Я тоже не знаю. Ну ладно, а что можно сделать? Вот корни 4-й степени из 1. В кватернионах понятно (понятно ли?), сколько их и кто они. А в матрицах? Как думаете?

 
 
 
 Re: Группа кватернионов Q8
Сообщение22.01.2015, 14:20 
В кватернионах : $1, \ i, \ j, \ k$, и там еще правила их умножения. Вот если бы поле было бы $\mathbb{C}$, то и матрицы можно написать. А вот в $\mathbb{Q}$ как-то не удается сходу.. :oops:

-- 22 янв 2015, 18:30 --

А может взять прям и обозначить две матрицы $x, \ y \in GL_2(\mathbb{Q})$:
$$
x = \begin{pmatrix}
a_x &  b_x \\
c_x &  d_x 
\end{pmatrix}
\qquad
y = \begin{pmatrix}
a_y &  b_y \\
c_y &  d_y 
\end{pmatrix}
$$
По определению : $x^4 = 1, \ x^2 = y^2, \ x^{-1} = y^{-1} x y$. Получаться какие-то соотношения на коэффициенты матриц. Как-нибудь из этого может выйти? :oops:

 
 
 
 Re: Группа кватернионов Q8
Сообщение22.01.2015, 14:49 
Аватара пользователя
Может (наверное). Но я бы двигался тем путём, на который указал в предыдущем сообщении.

-- менее минуты назад --

3.14 в сообщении #966745 писал(а):
Вот если бы поле было бы $\mathbb{C}$, то и матрицы можно написать.
Дак и напишите! Просто будем иметь в виду, что "вот это должно быть из $\mathbb Q$", и всё.

 
 
 
 Re: Группа кватернионов Q8
Сообщение22.01.2015, 16:21 
Так..Ну вот матрицы
$$
A = \begin{pmatrix}
a  & b \\
c & d 
\end{pmatrix}
$$
такие, что $A^4 = 1$ могут быть очень разными. Например все такие матрицы :
1.
$$
\begin{pmatrix}
\xi_4  & 0 \\
0 & \xi_4 
\end{pmatrix},
$$
где $\xi_4$ - корни 4-й степени из единицы.
Там еще куча случаев. В принципе, их можно рассмотреть. Просто не до конца понятно к чему идем :-) К противоречию какому-нибудь ? )

 
 
 
 Re: Группа кватернионов Q8
Сообщение22.01.2015, 16:26 
Аватара пользователя
Мне тоже неясно. Я пытаюсь проиллюстрировать метод мышления, состоящий в том, что когда неясно, то надо выяснять путём случайных движений. Ну ладно, а если мы ограничимся действительнозначными матрицами?

 
 
 
 Re: Группа кватернионов Q8
Сообщение22.01.2015, 16:27 
Еще могут быть такие матрицы $(b \neq 0)$:
$$
\begin{pmatrix}
0 & b \\
\frac{1}{b} &  0 
\end{pmatrix}
\qquad
\begin{pmatrix}
0 & b \\
-\frac{1}{b} & 0 
\end{pmatrix}
$$

-- 22 янв 2015, 20:29 --

Вот я тут поискал. Наткнулся на такой сайт : http://math.stackexchange.com/questions ... as-a-group
Вам там что-нибудь понятно ? :-)

 
 
 
 Re: Группа кватернионов Q8
Сообщение22.01.2015, 18:45 
Аватара пользователя
3.14, попробуйте подойти иначе. Если $Q_{8}\subset  GL_{2}(Q)\subset GL_{2}(\mathbb{R})$, то ... алгебра $\mathbb{H}\subset M_{2\times2}(\mathbb R)$. Но алгебра кватернионов не представима вещественными матрицами размера $2\times2$, поскольку ...

 
 
 
 Re: Группа кватернионов Q8
Сообщение22.01.2015, 19:17 
lek, :-) я немного не понял ) просто не силен в этих алгебрах и представлениях. Сейчас освежу память :oops:

-- 22 янв 2015, 23:55 --

Я увидел, что на вещественным полем алгебра кватернионов представляется матрицами размера $4 \times 4$. А вот почему нельзя матрицами размера 2, я пока не понял. Кстати, а вот если рассмотреть матрицу
$$
x = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 
\end{pmatrix}.
$$
Заметим, что $x^4 = 1$. Далее, должна быть матрица $y$ такая, что $x^2 = y^2$ и $x^{-1} = y^{-1} x y$. Обозначим
$$
y =  \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d 
\end{pmatrix}.
$$
Учитывая наши равенства, постоянно приходим к противоречию с тем, что $a, b, c, d \in \mathbb{Q}$. Значит такой матрицы $y \in GL_2(\mathbb{Q})$ нет. Отсюда, видно, что $Q_8$ не лежит в $GL_2(\mathbb{Q})$. Смущает только то, что матрицу мы сами взяли такую, но, вроде, в определении можно брать любую порядка 4. Вот взяли любую и получили противоречие.

-- 23 янв 2015, 00:11 --

$\mathbb{H}$ двумерная алгебра над $\mathbb{C}$. Значит над $\mathbb{R}$ она должна быть 4-х мерной. Так, вроде... :oops: :oops:

 
 
 
 Re: Группа кватернионов Q8
Сообщение22.01.2015, 20:41 
Аватара пользователя
3.14 в сообщении #966878 писал(а):
А вот почему нельзя матрицами размера 2, я пока не понял.

Это можно легко показать. Во-первых,
3.14 в сообщении #966878 писал(а):
$\mathbb{H}$ двумерная алгебра над $\mathbb{C}$. Значит над $\mathbb{R}$ она должна быть 4-х мерной.

Потому из включения $\mathbb{H}\subset M_{2\times2}(\mathbb{R})$ следует равенство этих алгебр (они имеют одинаковую размерность над $\mathbb{R}$). Во-вторых, алгебра $\mathbb{H}$ является алгеброй с делением. Поэтому из равенства $ab=0$ в $\mathbb{H}$ должно следовать $a=0$ или $b=0$. Постройте контрпример в $M_{2\times2}(\mathbb{R})$ и тем самым докажете отсутствие такого представления.

 
 
 
 Re: Группа кватернионов Q8
Сообщение22.01.2015, 20:47 
lek, спасибо. Я попробую построить контрпример )

-- 23 янв 2015, 01:39 --

То есть если рассмотреть две матрицы :
$$
\begin{pmatrix}
1 &  0 \\
0 & 0 
\end{pmatrix},
\
\begin{pmatrix}
0 &  0 \\
0 & 1 
\end{pmatrix}
$$
То всё будет доказано, так как
$$
\begin{pmatrix}
1 &  0 \\
0 & 0 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 &  0 \\
0 & 1 
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 &  0 \\
0 & 0 
\end{pmatrix}
$$
А можно еще раз. Так как мы предположили, что $Q_8 \subset GL_2(\mathbb{Q}) \subset GL_2(\mathbb{R})$, то алгебра кватернионов $\mathbb{H} \subset Mat_{2\times 2}(\mathbb{R})$ (вот это я не совсем понял, ибо не помню как группы и алгебры взаимодействуют). Дальше, потом мы как-то поняли, что верно и обратное включение(вот это не совсем понял), значит они раны, но $\mathbb{H}$ с делением, а $Mat_{2\times 2}(\mathbb{R})$ нет, есть контрпример.

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group