два шара

[Oleg Zubelevich]

Шар радиуса $r$ катится без проскальзывания по неподвижному шару радиуса $R$. Точка контакта описывает на шаре R гладкую кривую с кривизной $k(s)$ и кручением $\ae(s)$, где $s$ -- натуральный параметр.
Найти кривизну и кручение кривой, которую описывает точка контакта на шаре r. Верчение шара r вокруг оси, соединяющей центры шаров, отсутствует.

[svv]

Рассмотрим сначала один шар радиуса $r$, считая его неподвижным. Пусть вдоль кривой движется с единичной скоростью ортонормированный репер, так, что его базисные векторы
$\mathbf e_x$ — совпадает с единичным вектором скорости $\mathbf v$;
$\mathbf e_z$ — внешняя нормаль к сфере;
$\mathbf e_y=\mathbf e_z \times \mathbf e_x$

Двигаясь вдоль кривой, базис вращается как твердое тело с угловой скоростью $\boldsymbol{\omega}$, которую найдем из условий
$\boldsymbol{\omega} \times \mathbf r = \mathbf r' = \mathbf v$
$\boldsymbol{\omega} \times \mathbf v = \mathbf v' = k\mathbf n$
где $\mathbf r$ — радиус-вектор точки на кривой (с началом в центре шара), $\mathbf n$ — вектор главной нормали кривой, штрих — производная по $s$. Получим
$\omega_x=0$
$\omega_y=-kn_z=\frac 1 r$
$\omega_z=+kn_y$
Это не репер Френе, соответственно, $\boldsymbol{\omega}$ не вектор Дарбу.

Теперь пусть в инерциальной (лабораторной) системе шар вращается с угловой скоростью $-\boldsymbol{\omega}$ вокруг центра, тогда относительно этой системы репер не будет вращаться и вообще будет неподвижен.
Рассмотрим в ИСО два таких шара, «штрихованный» и «нештрихованный», радиусов $r$ и $\bar r$. Их центры неподвижны. Шары вращаются каждый вокруг своего центра со своей угловой скоростью. Шары касаются друг друга в одной точке (неподвижной в ИСО). Очень удобно считать, что меньший шар находится внутри большего. Если между шарами нет проскальзывания, их скорости в точке касания совпадают по направлению (а величина скоростей единична, из вышесказанного). Тогда в точке касания шаров (и обеих кривых) имеем один общий репер, неподвижный в ИСО, но движущийся с единичной скоростью относительно любого из шаров, вдоль каждой из двух кривых. Условие отсутствия относительного верчения шаров дает $\omega_z=\bar \omega_z$, откуда
$kn_y=\bar k\bar n_y$
Учитывая также
$krn_z=\bar k\bar r\bar n_z=-1$
и пользуясь $n_y^2+n_z^2=\bar n_y^2+\bar n_z^2=1$, можно получить:
$k^2-\frac 1 {r^2}=\bar k^2-\frac 1 {\bar r^2}$

Чтобы найти взаимосвязь между кручениями, продифференцируем по $s$ (опять в системе, связанной с шаром) $\mathbf r\cdot\mathbf v=0$, получим $\mathbf r\cdot \mathbf v'=-\mathbf v^2=-1$, или
$k\mathbf r\cdot \mathbf n=-1$
Дифференцируем ещё раз:
$k'\mathbf r\cdot \mathbf n+k\mathbf r\cdot \mathbf n'=0$
Учитывая $\mathbf n'=-k\mathbf v+\varkappa \mathbf b,\;\mathbf b=\mathbf v\times \mathbf n,\;\mathbf r=r \mathbf e_z,\;\mathbf v=\mathbf e_x$, получим
$k' n_z+\varkappa k n_y=0$
Учитывая $kn_zr=-1$, получим
$\dfrac{(k^2-\frac 1{r^2})'}{2k n_y}=k^2r\varkappa$
Значения левой части совпадают для обоих шаров, поэтому
$k^2r\varkappa=\bar k^2\bar r\bar \varkappa$
Можно было ожидать формулы с $k'$, избавление от производной — удача.

Чтобы вернуться к «внешнему» второму шару, надо сохранить кривизну и изменить знак кручения.