2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Произведение отображений, обратное отображение
Сообщение21.01.2015, 19:03 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
Отображением из множества $A$ в множество $B$ называется подмножество $\alpha$ множества $A\times B$ со следующим свойством: для любого $x\in A$ существует, и притом только одно, $y\in B$ такое, что $(x,y)\in \alpha$.

Необходимо придумать такое же "теоретико-множественное" определение для произведения отображений. Допустим $g:X\to Y$ и $f:Y\to Z$, ясно что $fg\subset X\times Z$. Но на это подмножество надо наложить какое-то дополнительное условие. Как сформулировать это условие?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение отображений, обратное отображение
Сообщение21.01.2015, 19:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13098
Москва
Нужно красиво рассказать "про среднюю точку" в $Y$, через которую вы пробегаете из $X$ в $Z$. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение отображений, обратное отображение
Сообщение21.01.2015, 20:17 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
$\forall (x,y)\in g \exists! (y,z)\in f: (x,z)\in fg$
так сойдет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение отображений, обратное отображение
Сообщение21.01.2015, 20:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13098
Москва
Может, лучше начать со слов: Отображение...называется произведением отображений..и.., если....

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение отображений, обратное отображение
Сообщение21.01.2015, 20:42 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
Отображение $fg:X\to Z$ называется произведением отображений $g:X\to Y$ и $f:Y\to Z$, если оно определяется правилом $fg(x)=f(g(x)), \forall x \in X$.

А мне надо "теоретико-множественное" определение...

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение отображений, обратное отображение
Сообщение21.01.2015, 20:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
У вас после $\exists !$ стоит пара $(y,z)$. В смысле, что она единственная?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение отображений, обратное отображение
Сообщение21.01.2015, 20:55 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
она единственная

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение отображений, обратное отображение
Сообщение21.01.2015, 20:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
22977
Уфа
Kras в сообщении #966395 писал(а):
А мне надо "теоретико-множественное" определение...
Композиция отношений же. Знаете бинарные отношения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение отображений, обратное отображение
Сообщение21.01.2015, 21:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
Собственно, единственность здесь требовать ни к чему: она и так получится, если исходные отношения - отображения. Достаточно существования $y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение отображений, обратное отображение
Сообщение21.01.2015, 21:49 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
Цитата:
Композиция отношений же. Знаете бинарные отношения?

Это вообще к чему?

provincialka
А что здесь требовать? Я запутался совсем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение отображений, обратное отображение
Сообщение21.01.2015, 21:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
Вот существование подходящего $y$ и требовать. Как сказал arseniiv, достаточно построить композицию отношений, а уж отображением она и так окажется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение отображений, обратное отображение
Сообщение21.01.2015, 22:03 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
А чем отображение отличается от бинарного отношения? Получается, только требованием единственности
Цитата:
только одно, $y\in B$ такое, что $(x,y)\in \alpha$

В то время как бинарное отношение - это вообще любое подмножество. Вообще какое угодно. Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение отображений, обратное отображение
Сообщение21.01.2015, 22:05 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Еще "для каждого $x \in A$ ...". А так отображение - частный случай отношения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение отображений, обратное отображение
Сообщение21.01.2015, 22:17 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
Тогда вот, на сайте нашёл
Цитата:
Композицией (произведением, суперпозицией) бинарных отношений (англ. composition of binary relations) $R\subseteq A\times B$ и $S\subseteq B\times C$ называется такое отношение $(R \circ S) \subseteq A\times C$, что: $\forall a \in A, c \in C : a (R \circ S) c \iff \exists b \in B : (a R b) \wedge (b S c)$.

Теперь для каждого $a$ найдется единственное $b$, для каждого $b$ найдется единственное $c$. Значит из того, что $R$ и $S$ - отображения, следует, что $(R \circ S)$ - тоже отображение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение отображений, обратное отображение
Сообщение21.01.2015, 22:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
22977
Уфа
(Кстати, как вы здесь можете видеть, порядок композиции для отношений традиционно обратный порядку композиции функций — это делают просто для удобства.)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group