Прошу проверить решение логарифмического неравенства

[Francisk]

Неравенство

$\log_{x^2+x}(x^2-2x+1)\leqslant1$

Решение

$\log_{x^2+x}(x^2-2x+1)\leqslant\log_{x^2+x}(x^2+x)$

$(x^2-2x+1)\leqslant(x^2+x)$

Раскрываем скобки, упрощаем

$3x\geqslant1$

$x\geqslant\frac{1}{3}$

И еще
$(x^2-2x+1)\geqslant0$ - это в самом начале написать

[provincialka]

Много ошибок.
1. не правильно сформулировано ОДЗ
2. логарифм не всегда возрастающая функция

[Dan B-Yallay]

Francisk в сообщении #966242 писал(а):

И еще
$(x^2-2x+1)\geqslant0$ - это в самом начале написать

Это квадрат. Он (почти) всегда неотрицателен.

[Francisk]

provincialka
ОДЗ

$(x^2-2x+1)>0$

Насчет второго пункта не понял.

-- 21.01.2015, 17:46 --

Dan B-Yallay
т.е. ОДЗ не нужно?

[Dan B-Yallay]

Francisk в сообщении #966251 писал(а):

Dan B-Yallay
т.е. ОДЗ не нужно?

У Вас база логарифма тоже зависит от икса. На ОДЗ это как то должно влиять?

[provincialka]

Francisk, вы совершенно не учитываете, что основание логарифма у вас переменное. Это важно обоих пунктах моих претензий.

[Francisk]

Dan B-Yallay
т.е. для основания $x^2+x$ тоже нужно ОДЗ?

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

Блин. Основание базой обозвал.
"Русский речь меня покидать"....

-- Ср янв 21, 2015 08:55:08 --

Francisk в сообщении #966259 писал(а):

Dan B-Yallay
т.е. для основания $x^2+x$ тоже нужно ОДЗ?

Естессно. Оно только для него и нужно. Об этом и provincialka Вам говорит.

[Francisk]

Dan B-Yallay
provincialka

Первая система

$x^2+x>1$
$x^2-2x+1\leqslant(x^2+x)$
$x^2-2x+1>0$

Вторая система

$x^2+x>0$
$x^2+x<1$
$x^2-2x+1\geqslant(x^2+x)$
$x^2-2x+1>0$

Вот. Только я не могу понять какое значение играет больше или меньше единицы $x^2+x$

[provincialka]

Логарифм по "маленькому" основанию - убывающая функция. Понятно, что это значит в данной задаче?

[Brukvalub]

Проще всего запомнить, что на своем ОДЗ неравенство $\log_{f(x)}g(x)-\log_{f(x)}h(x) >(<)0 $ равносильно неравенству $(f(x)-1)(g(x)-h(x))>(<)0.$

[Francisk]

provincialka в сообщении #966271 писал(а):

Логарифм по "маленькому" основанию

Не понял смысла данной фразы

[Dan B-Yallay]

Francisk в сообщении #966276 писал(а):

Не понял смысла данной фразы

Посмотрите график $\log _{0.5} x$

[provincialka]

Вы ведь разделили задачу на два случая: $x^2+x>1$ и $x^2+x<1$. Вот второй тип основания я и назвала "маленьким". А вообще вам надо повторить свойства логарифма. Вы должны их знать без наших подсказок.

-- 21.01.2015, 18:11 --

Brukvalub
Мне кажется, ТС-у это рановато.

[Francisk]

provincialka

Вопрос, можно ли объяснить так:

когда $x^2+x>1$, то логарифм. функция возрастает, следовательно в выражении

$x^2-2x+1\leqslant(x^2+x)$

знак неравенства не меняем, оставляем как есть

а когда $x^2+x<1$ но
$x^2+x>0$, то знак неравенства меняем, ибо функция убывает