Пространство замкнутых подмножеств

[Padawan]

Пусть $(X,\rho)$ -- компактное метрическое пространство. Обозначим через $(2^X,\alpha)$ множество всех замкнутых подмножеств пространства $X$ с метрикой Хаусдорфа (пустое множество считаем изолированным элементом в $2^X$). Для некоторого множества $A\subset X$ обозначим $I(A)=\{M\in 2^X\mid M\subset A\}$.

Вопрос: если $A$ -- $F_\sigma$-множество в $X$, то будет ли $I(A)$ борелевским множеством в $2^X$?