Случайные величины

[MestnyBomzh]

Дана СВ $\xi$, распределенная равномерно на $(0; \pi)$. Нужно найти функцию плотности для $\eta=\cos \xi$
Так как распределение равномерное: $F_{\xi} (x)=\begin{cases} 0,&\text{если $x<0$;}\\ \frac{x}{\pi},&\text{если $x \in (0;\pi)$;}\\ 1,&\text{если $x> \pi$.} \end{cases}$
$F_{\eta}(x) = P( \eta \leqslant x) = P(\cos \xi \leqslant x) = P(\xi \leqslant \arccos x) = F_{\xi} (\arccos x)$
Отсюда $F_{\eta} (x) = \frac{\arccos x}{\pi}, x \in [-1;1]$ верно ли я понимаю, что если икс не лежит в прмоежутке $[0; \pi]$, то функция плотности не существует?

[provincialka]

MestnyBomzh в сообщении #965411 писал(а):

то функция плотности не существует?

Нет, просто она равна нулю. Кстати, где же все-таки лежит $x$, у вас подряд указано два промежутка.

Про вычисления: вы забыли, что косинус - убывающая функция.

[MestnyBomzh]

Поправлюсь:
$F_{\eta} (x) = 1- F_{\xi} (\arccos x), x \in [-1;1]$
Неясно почему вне этого промежутка будет ноль, ведь: $F_{\xi} (\arccos x) = \begin{cases} 0,&\text{если $\arccos x < 0$;}\\ \frac{\arccos x}{\pi},&\text{если $x \in [0;\pi]$;}\\ 1,&\text{если $\arccos x > \pi$.} \end{cases}$
Но для неравенств $\arccos x < 0, \arccos x > \pi $ нет решения

[provincialka]

Потому что в этих промежутках не нужен арккосинус. Основное неравенство -- $\cos \xi \leqslant x$. Каковы его решения при $x<-1$? При $x>1$?

Какова вероятность соответствующих событий?

[MestnyBomzh]

Понял. Итого получилось: $\begin{cases} \frac{1}{\pi \sqrt{1-x^2}},&\text{если $x \in [-1;1]$;}\\ 0,&\text{иначе.} \end{cases}$

[provincialka]

Хм... А это что -- функция распределения или плотность? Чему она равна при $x<-1$?

[MestnyBomzh]

Это функция плотности, ее же найти надо) при $x < -1$ ноль.

[provincialka]

А, вы исправили. Теперь вроде верно, но счет не проверяла.

[ewert]

Естественно, верно, но за исключением скобок.

[MestnyBomzh]

ewert
А Вы не могли бы уточнить?промежуток для икса я, вроде как, верно указал. Больше скобок то и нет

[ewert]

Просто скобки не того формата.

[MestnyBomzh]

Аа, круглые, да