Группа Лоренца Параграф 2.3 в учебнике Райдера

[anatoliy_kiev]

Здравствуйте.

Не понятен (и, судя по результатам поиска, не только мне) следующий пассаж Райдера (формула 2.69 на странице 37 второго издания):

https://www.scribd.com/doc/195982012/Ry ... df#page=51

$\boldsymbol{K} = \pm \frac{i}{2} \boldsymbol{\sigma}$ (2.69)

Утверждается, что этим выбором $\boldsymbol{K}$, можно удовлетворить коммутационным соотношениям (2.68):

$\begin{cases} [K_x,K_y] = -i J_z &\text{and cyclic permuations}\\ [J_x,K_x] = 0&\text{etc.,}\\ [J_x,K_y] = iK_z&\text{and cyclic permuations} \end{cases}$,
где $K_i$ и $J_i$ это $4\times 4$ генераторы бустов и поворотов соответственно (см. 2.65--2.67).

Вопрос: в формуле (2.69) что есть $\boldsymbol{K}$? Это не может быть пространственно-временной (т.е. 4x4) "вектор-матрица", обозначающий три соответствующих генератора бустов, поскольку в правой части формулы стоят 2x2 матрицы Паули. Но если $\boldsymbol{K}$ это 2х2 генераторы бустов в спин-1/2 пространстве, то что означает фраза, что (2.69) можно удовлетворить коммутационным соотношениям (2.68), если последние --- соотношения для 4х4 генераторов?! С другой стороны, $\boldsymbol{K}$ не может быть 2х2 генераторами бустов в спин-1/2 пространстве, поскольку дальше в (2.70)
$\begin{cases} \boldsymbol{A} = \frac{1}{2} (\boldsymbol{J} + i \boldsymbol{K})\\ \boldsymbol{B} = \frac{1}{2} (\boldsymbol{J} - i \boldsymbol{K}) \end{cases}$,
они стоят вместе с 4х4 генераторами поворотов $\boldsymbol{J}$.

[Munin]

Рассматривайте их просто как абстрактные алгебраические объекты. А как их записать в виде $4\times 4$-матриц - это уже второй вопрос (кстати, имеющий некоторый произвол, так что его авторам частенько лень прописывать).

-- 20.01.2015 15:52:01 --

Там как-то мутно написано. Надо воспринимать формулу

$$\boldsymbol{K}=\pm\tfrac{i}{2}\boldsymbol{\sigma}\eqno(2.69)$$

не как саму по себе, а как в контексте уже выше где-то оговорённой (вот только не в явном виде) другой формулы:

$$\boldsymbol{J}=\tfrac{1}{2}\boldsymbol{\sigma}.\eqno\scriptscriptstyle.$$

То есть, фраза, что $\boldsymbol{K}$ удовлетворяют этим коммутационным соотношениям, подразумевает, что $\boldsymbol{J}$ и $\boldsymbol{K}$ будут им удовлетворять вместе взятые (а комм. соотношения надо подразумевать (2.69)+(2.38) для чисто $\boldsymbol{J}$ с $\boldsymbol{J}$).