2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Получено ли доказательство?
Сообщение19.01.2015, 23:33 


03/06/12
2745
Подскажите, пожалуйста. Попалась такая задача: доказать неравенство $\left|z_{1}+z_{2}\right|\geq\dfrac{1}{2}(\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|)\left|\dfrac{z_{1}}{\left|z_{1}\right|}+\dfrac{z_{2}}{\left|z_{2}\right|}\right|$, где $z_1$ и $z_2$ - комплексные числа. Мне же, исходя из очевидного неравенства $2\geq\left|\dfrac{z_{1}}{\left|z_{1}\right|}+\dfrac{z_{2}}{\left|z_{2}\right|}\right|$ и азбучного неравенства $\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|\geq\left|z_{1}+z_{2}\right|$, кажется, что в исходном неравенстве левый модуль и правая круглая скобка перепутаны местами и их нужно переставить. Скажите, я верно понимаю или все-таки следует искать доказательство исходного неравенства?

 Профиль  
                  
 
 Re: Получено ли доказательство?
Сообщение20.01.2015, 00:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Ваше обоснование необходимости упрощения / усложнения задачи не выглядит убедительным. Имело бы смысл либо привести простенький контрпример к поставленной задаче и на основании этого взяться за усложнение, либо наоборот -- признать задачу слишком сложной для себя и с обоснованием "зато вот такую я могу решить" решать упрощённую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Получено ли доказательство?
Сообщение20.01.2015, 00:58 


03/06/12
2745
grizzly в сообщении #965284 писал(а):
Ваше обоснование

Я ничего не обосновывал, я просто спросил, неравенство верно или нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Получено ли доказательство?
Сообщение20.01.2015, 01:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Sinoid в сообщении #965264 писал(а):
Скажите, я верно понимаю или все-таки следует искать доказательство исходного неравенства?

1. Я считаю, что неверно понимаете.
2. Следует искать доказательство или опровержение / контрпример.

Sinoid в сообщении #965295 писал(а):
я просто спросил, неравенство верно или нет.

Я не доказывал, но выглядит вполне правдоподобно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Получено ли доказательство?
Сообщение20.01.2015, 01:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Неравенство в условие задачи верное. Легко проверяется возведением в квадрат, например.

 Профиль  
                  
 
 Re: Получено ли доказательство?
Сообщение20.01.2015, 13:19 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Sinoid, раскройте скобки в правой части. Тогда требуемое неравенство будет следовать из тождества $\left|\dfrac{z_1}{|z_1|}\cdot|z_2|+\dfrac{z_2}{|z_2|}\cdot|z_1|\right|\equiv|z_1+z_2|$, которое геометрически совершенно очевидно: треугольник в левой части -- это просто перевёрнутый треугольник из правой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Получено ли доказательство?
Сообщение20.01.2015, 15:28 


03/06/12
2745
provincialka в сообщении #965303 писал(а):
Легко проверяется возведением в квадрат, например.

Подставлять $z_{k}=x_{k}+iy_{k}$, что ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Получено ли доказательство?
Сообщение20.01.2015, 16:54 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Sinoid в сообщении #965608 писал(а):
Подставлять $z_{k}=x_{k}+iy_{k}$, что ли?

Умучаетесь с четырьмя параметрами. И даже в общих обозначениях возводить в квадрат не слишком перспективно -- многовато слагаемых.

Ладно, если лень раскрывать скобки, то вот чисто геометрическое доказательство. Если чуть-чуть (самую малость) подумать, то очевидно, что $\left|\dfrac{z_{1}}{\left|z_{1}\right|}+\dfrac{z_{2}}{\left|z_{2}\right|}\right|$ есть удвоенный косинус одного довольно любопытного угла. Соответственно, в правой части стоит проекция вектора $z_1+z_2$ на нечто. Ну а в левой -- его же проекция на самого себя. Естественно, левая проекция больше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Получено ли доказательство?
Сообщение20.01.2015, 17:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Sinoid в сообщении #965608 писал(а):
Подставлять $z_{k}=x_{k}+iy_{k}$, что ли?

Я в экспоненциальной форме делала. И использовала то, что $|z|^2=z\bar z$.
Но геометрически, конечно, интереснее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Получено ли доказательство?
Сообщение20.01.2015, 21:24 


03/06/12
2745
ewert в сообщении #965663 писал(а):
Умучаетесь с четырьмя параметрами.

Потому я и не очень-то и пробовать хотел. Но в экспоненциальной форме ведь тоже 4 параметра. Ладно буду пробовать и так и так. Позже напишу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Получено ли доказательство?
Сообщение20.01.2015, 23:19 


03/06/12
2745
С экспоненциальной формой все совпало, а вот с геометрической...
ewert в сообщении #965663 писал(а):
$\left|\dfrac{z_{1}}{\left|z_{1}\right|}+\dfrac{z_{2}}{\left|z_{2}\right|}\right|$ есть удвоенный косинус одного довольно любопытного угла

Это-половина угла, меньшего $\pi$, между $z_1$ и $z_2$, но как может быть
ewert в сообщении #965663 писал(а):
в правой части стоит проекция вектора $z_1+z_2$ на нечто
,
если в правой части стоит не $\left|z_{1}+z_{2}\right|$, а $\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Получено ли доказательство?
Сообщение20.01.2015, 23:33 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Sinoid в сообщении #965888 писал(а):
если в правой части стоит не $\left|z_{1}+z_{2}\right|$, а $\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|$?

Это правильный вопрос. Но дело в том, что умножаются-то те длины на один и тот же косинус и, значит, этот косинус можно вынести за скобки. Вот и выходит проекция суммы на биссектрису.

-- Ср янв 21, 2015 00:46:39 --

Я неправильно выразился. Не выносить за скобки, конечно, а просто представить произведение каждой длины на косинус как проекцию на биссектрису и потом эти проекции тупо сложить. Ну Вы поняли, надеюсь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Получено ли доказательство?
Сообщение20.01.2015, 23:48 


03/06/12
2745
ewert в сообщении #965898 писал(а):
Вот и выходит проекция суммы на биссектрису.

Так суммы-то модулей, а не модуля суммы

 Профиль  
                  
 
 Re: Получено ли доказательство?
Сообщение20.01.2015, 23:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Проекция -- вообще не модуля, а вектора (компл. числа). Каждого по-отдельности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Получено ли доказательство?
Сообщение20.01.2015, 23:51 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Sinoid в сообщении #965904 писал(а):
Так суммы-то модулей, а не модуля суммы

Я уже исправился, в смысле попытался.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group