Разность в кольце

[Nurzery[Rhymes]]

Не могу понять элементарное доказательство того, что в любом кольце $b-a = b + (-a)$. Вот как автор это доказывает:

$[b + (-a)] + a = b + [(-a) + a] = b + 0 = b$

Смотрю на это пять минут, и мне в голову не приходит, а как из этого вообще следует, что разность $b - a$ равна $b$ плюс обратный к $a$?

В моем понимании доказательство должно быть таким: взяли $b + (-a)$, делаем какие-то преобразования, и в итоге оказывается, что это равно $b-a$. Но мы получили $b$. О чем говорит это $b$?

Из той строчки вообще не понятно, какое отношение она имеет к разности $b-a$, там эта разность вообще никак не участвует.

[nnosipov]

А Вы понимаете, что такое $b-a$ по определению?

[Nurzery[Rhymes]]

nnosipov в сообщении #965118 писал(а):

А Вы понимаете, что такое $b-a$ по определению?

Да, это такое число $d$, которое в сумме с $a$ дает $b$. Я думал, что там неочевидным образом используется определение разности, но не увидел его применение.

[nnosipov]

Ну, так на роль этого $d$ и претендует $b+(-a)$. А автор просто делает проверку и убеждается, что кандидат правильный.

[Nurzery[Rhymes]]

nnosipov в сообщении #965124 писал(а):

Ну, так на роль этого $d$ и претендует $b+(-a)$. А автор просто делает проверку и убеждается, что кандидат правильный.

Ну я пробовал использовать определение разности, и ничего не вышло. Вот, например, из исходного утверждения $b-a = b+ (-a)$ получаю:

$b+ (-a)$ в сумме с $-a$ должно дать $b$. Проверяю: $b+(-a) +(-a) = b+(-2a)$. Не получается.

Ой, нет, все верно!

[nnosipov]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #965127 писал(а):

Ой, нет, все верно!

Надеюсь, что Вас разглючило. Тут действительно всё просто.

[Nurzery[Rhymes]]

nnosipov в сообщении #965139 писал(а):

Nurzery[Rhymes] в сообщении #965127 писал(а):

Ой, нет, все верно!

Надеюсь, что Вас разглючило. Тут действительно всё просто.

Я что-то уже не уверен. Должно было получиться $b$, а получилось тождество $b+(-2a)=b+(-2a)$. Можно сократить, и получится $0=0$. Или прибавить $2a$, тогда получится $b=b$. В любом случае получается выражение-тождество, а должна получиться переменная.

[provincialka]

А зачем было $-a$ прибавлять? Наоборот, $a$.

-- 19.01.2015, 21:19 --

Nurzery[Rhymes] в сообщении #965120 писал(а):

Да, это такое число $d$, которое в сумме с $a$ дает $b$.

Заметьте, именно с $a$, а не с $-a$.

[Nurzery[Rhymes]]

provincialka в сообщении #965159 писал(а):

А зачем было $-a$ прибавлять? Наоборот, $a$.

-- 19.01.2015, 21:19 --

Nurzery[Rhymes] в сообщении #965120 писал(а):

Да, это такое число $d$, которое в сумме с $a$ дает $b$.

Заметьте, именно с $a$, а не с $-a$.

Теперь точно понял.

[provincialka]

Nurzery[Rhymes]
Эти вещи всегда немного трудны с непривычки. Вроде все элементарно. Но надо отключиться от привычного способа действия с символами. И все доказывать.