Зорич, стр. 85, задача 4

[gefest_md]

Вот эта задача:

Цитата:

4. Покажите, что если в качестве аксиомы полноты множества действительных чисел взять
a) принцип Больцано-Вейерштрасса
или
b) принцип Бореля-Лебега,
то получится равносильная прежней система аксиом $\mathbb{R}.$
Указание. Из a) следует принцип Архимеда и аксиома полноты в прежней форме.
c) Замена аксиомы полноты принципом Коши-Кантора приводит к системе аксиом, которая становится равносильной исходной, если кроме принципа Коши-Кантора постулировать также принцип Архимеда (см. задачу 21 предыдущего параграфа).

У Зорича эти принципы доказаны по такой цепочке: аксиома полноты ---> п. Коши-Кантора ---> п. Бореля-Лебега ---> п. Больцано-Вейерштрасса. Но тогда для решения с) не нужно постулировать принцип Архимеда, потому что, как указано, и принцип Архимеда, и аксиома полноты вытекают из п. Больцано-Вейерштрасса. Не понимаю, что даёт мне указание. Мне понятно, что нужно просто вывести аксиому полноты из п. Больцано-Вейерштрасса. Как Вы думаете? (Из задачи 21 я понял, что принцип Архимеда нельзя доказать без аксиомы полноты.)

[stef]

Нужно внимательнее рассмотреть доказательства принципа Больцано-Вейерштрасса и леммы Бореля-Леьега. В них, кроме Коши-Кантора могли неявно использоваться другие утверждения, относящиеся к полноте. Если из Бореля-Лебега честно без полноты доказан Больцано-Вейерштрасс то да, пункт b сведён к a. Но вот в импликацию " п. Коши-Кантора ---> п. Больцано-Вейерштрасса." в неархимедовом поле я лично не верю по следующей причине. Если есть неархимедово поле с выполеным принципом Коши, то из последовательности $1, 2, 3, 4, ...$, которая содержится в некотором отрезке, ведь поле неархимедово, нельзя выделить сходящейся подпоследовательности.

[ex-math]

stef
Почему нельзя выделить? По $p$-адической норме можно, к примеру. В неархимедовом поле ведь и сходимость другая.

[kp9r4d]

ex-math
$p$-адические числа не являются линейно упорядоченным полем, о том, чтобы выкидывать аксиомы порядка Зорич ничего не говорил. А в любом линейно упорядоченном поле сходимость почти всегда понимается как сходимость в топологии, индуцированной порядком.

-- 27.01.2015, 08:51 --

stef в сообщении #968905 писал(а):

в неархимедовом поле я лично не верю по следующей причине. Если есть неархимедово поле с выполеным принципом Коши, то из последовательности $1, 2, 3, 4, ...$, которая содержится в некотором отрезке, ведь поле неархимедово, нельзя выделить сходящейся подпоследовательности.

Совсем уж конкретный пример: ряды Лорана, хотя их полнота по фильтру Коши довольно нетривиальный факт.

[ex-math]

kp9r4d
Да, Вы правы.
Кстати, взаимное следование разных принципов полноты хорошо разобрано у Камынина.

[kp9r4d]

Вот ещё статья хорошая.

[ex-math]

Еще к моему предыдущему сообщению: для доказательства того, что построенная с помощью вложенных отрезков точка будет точной верхней гранью, нужно, чтобы длины отрезков с ростом номера становились сколь угодно малыми. Вот здесь-то и применяется по существу принцип Архимеда.

UPD: Длина отрезка на $n$-ой итерации деления $(b-a)/2^n$. Она должна быть меньше любого заданного $\varepsilon>0$ для достаточного большого $n$, т.е. $2^n>(b-a)/\varepsilon$. Существование такого $n$ и обеспечивается принципом Архимеда.