Разность соседних кубов

[kononov]

Уравнение Великой теоремы Ферма для разности соседних кубов запишем следующим образом:
$(a+1)^3-a^3=b^3$ (1)
Здесь: $a$ – заданное натуральное число; $b$- искомое число.
Полагая, что $b$ натуральное число, принимаем:
$b=x+1$ (2)
Из уравнений (1), (2) следует:
$3a^2+3a+1=x^3+3x^2+3x+1$ (3)
Отсюда:
$x^3+3x^2+3x-(3a^2+3a)=0 $ (4)
Кубическое уравнение (4) имеет канонический вид:
$x^3+rx^2+sx+t=0$ (5)
Здесь: $r=3; s=3; t=-(3a^2+3a).$
Делая в уравнении (5) замну неизвестного:
$y=x+\frac{r}{3}$ (6)
получим так называемое приведенное уравнение:
$y^3+py+q=0$ (7)
Здесь:
$p=\frac{3s-r^2}{3}; q=\frac{2r^3}{27}-\frac{rs}{3}+t$
Подставив значения чисел $r, s, t$ и произведя преобразования, получим:
$p=0; q=-3(a^2+a+1)$
Определим дискриминант уравнения:
$D=(\frac{p}{3})^3+(0,5q)^2=0,25[3(a^2+a+1)]^2$ (9)
При этом:
$\sqrt{D}=0,5[3(a^2+a+1)]$ (10)
Дискриминант $D>0$, следовательно, уравнение (4) имеет одно действительное решение.
Для решения кубического уравнения (4) применим формулу Кардано,
относящуюся к его приведенному виду (7). В этом случае:
$y=u+v$ (11)
Здесь:
$u=\sqrt[3]{-0,5q+\sqrt{D}}$ (12)
$v=\sqrt[3]{-0,5q-\sqrt{D}}$ (13)
Подставив значения чисел $q, D$ , получим:
$u=\sqrt[3]{3(a^2+a+1)}$ (14)
$v=0$
Чтобы число $u$ было натуральным, должно выполняться равенство:
$a^2+a+1=3^2N^3$ (15)
Тогда:
$a^2+a-(3^2N^3-1)=0$ (16)
Решая квадратное уравнение относительно $a$ , получим:
$a=0,5[\sqrt{3(12N^3-1)}-1]$ (17)
Двучлен $(12N^3-1)$ не делится на $3$. Поэтому не зависимо от значения числа $N$ число, извлеченное из-под радикала в формуле (17), иррациональное число. Следовательно, число $a$ тоже иррациональное, что противоречит исходным данным. Следовательно, число $u$ иррациональное.
В соответствии с формулой (11) число $y$ равно:
$y=u+v=u+0=u$
Число $y$ иррациональное.
Из формулы (6) следует:
$x=y-\frac{r}{3}=u-\frac{r}{3}$
Число $x$ также иррациональное. Следовательно, в соответствии с уравнением (2) $b$ иррациональное число.
Таким образом, уравнение ВТФ для разности соседних кубов не имеет решения в натуральных числах.

[nnosipov]

kononov в сообщении #964357 писал(а):

Подставив значения чисел $r, s, t$ и произведя преобразования, получим:
$p=0; q=-3(a^2+a+1)$

Чудес не бывает. На самом деле $q=-3a^2-3a-1$. Кстати, $y=b$, т.е. от чего ушли, к тому же и пришли.

[Deggial]

kononov заблокирован как злостный клон.
Тема переносится в Пургаторий.