Течение времени на поверхности звезды и в центре

[Vince Diesel]

Чисто интересно, где быстрее время идет? На поверхности есть гравитация. А в центре она компенсируется, зато есть вещество - дает тензор энергии-импульса.

Для второй ситуации вопрос похож на такой, тоже любопытно. Есть объем газа с заданными давлением и температурой. Есть ли простая формула, приближенно выражающая коэффициент замедления времени в объеме через температуру и давление?

[Pphantom]

Vince Diesel в сообщении #964227 писал(а):

Есть ли простая формула, приближенно выражающая коэффициент замедления времени в объеме через температуру и давление?

Тут явно еще уравнение состояния понадобится...

[Munin]

Vince Diesel в сообщении #964227 писал(а):

Чисто интересно, где быстрее время идет?

Скорость течения времени (в шварцшильдовских = стационарных координатах): $\dfrac{d\tau}{dt}=\sqrt{g_{00}}.$
Ньютоновское приближение ОТО: $g_{00}=1+\dfrac{2\varphi}{c^2},$ где $\varphi$ - ньютоновский гравитационный потенциал.
Напомню: $\vec{g}=-\operatorname{grad}\varphi,$ так что вне массивной точки, массивной сферы и сферически-симметричного шара:
$\varphi=-\dfrac{GM}{r},$
внутри сферически-симметричного массивного шара:
$d\varphi=\dfrac{4}{3}\pi\,G\rho\,rdr,$
и для однородного массивного шара, соответственно,
$\varphi=\varphi|_{r=0}+\dfrac{4}{3}\pi\,G\rho\dfrac{r^2}{2}.$

Реальные звёзды - очень неоднородные шары. Снаружи у них большая область низкой плотности, зато ядро очень высокой плотности, в нём сосредоточена бо́льшая часть массы. Например, Солнце: средняя плотность 1 с дробью, плотность в центре около 150, плотность на поверхности ниже 0,01. Основная масса сосредоточена внутри области 0,15 радиуса.

-- 18.01.2015 17:16:28 --

Стандартная модель Солнца, рассчитанная ещё в 1964 году (Sears, картинка цит. по Сурдин. Звёзды):



-- 18.01.2015 17:22:40 --

Vince Diesel в сообщении #964227 писал(а):

Для второй ситуации вопрос похож на такой, тоже любопытно. Есть объем газа с заданными давлением и температурой. Есть ли простая формула, приближенно выражающая коэффициент замедления времени в объеме через температуру и давление?

Та же самая формула: $g_{00}=1+\dfrac{2\varphi}{c^2}.$

Вы должны взять газ, посчитать в нём распределение массы, зная распределение давления и температуры. Для нерелятивистского газа (с температурой $kT\ll mc^2$ и скоростью $v\ll c$) можно пренебречь вкладом энергии в массу и вкладом скорости газа в гравитацию. Потом это распределение массы подставляете в уравнение Пуассона для гравитационного потенциала

$$\Delta\varphi=4\pi G\rho.$$

И, найдя потенциал, подставляете в формулу замедления времени.

Ну а если газ релятивистский, то возникает вопрос выбора системы отсчёта, и вообще нет смысла говорить о каком-то "абсолютном, едином для всех" коэффициенте замедления времени.

[Vince Diesel]

Я думал, мб такие вещи уже прикидывались где-нибудь. А то мало ли, если в одном месте время идет не так, как в другом с учетом времени жизни звезды могут быть какие-нибудь эффекты.

Munin в сообщении #964270 писал(а):

Ньютоновское приближение ОТО: $g_{00}=1+\dfrac{2\varphi}{c^2},$ где $\varphi$ - ньютоновский гравитационный потенциал.
Напомню: $\vec{g}=-\operatorname{grad}\varphi,$ так что вне массивной точки, массивной сферы и сферически-симметричного шара:
$\varphi=-\dfrac{GM}{r},$

Доступная формула Для второй части непонятно.

Munin в сообщении #964270 писал(а):

Вы должны взять газ, посчитать в нём распределение массы, зная распределение давления и температуры. Для нерелятивистского газа (с температурой $kT\ll mc^2$ и скоростью $v\ll c$) можно пренебречь вкладом энергии в массу и вкладом скорости газа в гравитацию. Потом это распределение массы подставляете в уравнение Пуассона для гравитационного потенциала

$$\Delta\varphi=4\pi G\rho.$$

И, найдя потенциал, подставляете в формулу замедления времени.

Насколько я понимаю, это вклад массы газа в гравитацию. А предположим, что массой газа можно пренебречь или объем имеет форму шара. Притяжение в центре ноль, но замедление то должно быть, раз есть энергия-импульс. Или не должно?

[Munin]

Vince Diesel в сообщении #964350 писал(а):

Я думал, мб такие вещи уже прикидывались где-нибудь.

Прикидывались.

Munin в сообщении #957461 писал(а):

Ну и заодно ещё два запавших в память порядка: $10^{-9}$ и $10^{-15}.$ Похожи они на гравпотенциалы на поверхности Солнца и Земли?

Pphantom в сообщении #957463 писал(а):

Первое число похоже на Землю, а вот у Солнца существенно больше.

Munin в сообщении #957475 писал(а):

Хм-м-м, те же $10^{-6}$?

Pphantom в сообщении #957481 писал(а):

Да, примерно.

В центре Солнца - по грубой оценке по порядку величины, заменяя Солнце однородным шаром - будет $3/2$ от потенциала на поверхности. Зная, что масса сосредоточена в центре, соответственно, получаем множитель намного ближе к единице.

[Pphantom]

Vince Diesel в сообщении #964350 писал(а):

Я думал, мб такие вещи уже прикидывались где-нибудь. А то мало ли, если в одном месте время идет не так, как в другом с учетом времени жизни звезды могут быть какие-нибудь эффекты.

В общем-то прикидка очевидна, все необходимое для нее Munin уже написал. Результат простой: эффект настолько крошечный, что его учет лишен практического смысла.

[Munin]

Vince Diesel в сообщении #964350 писал(а):

А то мало ли, если в одном месте время идет не так, как в другом с учетом времени жизни звезды могут быть какие-нибудь эффекты.

Практически никаких эффектов нет. Скажем, точность расчёта времени жизни звезды, вычисляемая через время протекания термоядерных реакций в её ядре, намного грубее, чем поправка от замедления времени.

Vince Diesel в сообщении #964350 писал(а):

Для второй части непонятно.

Что такое "вторая часть"?

Знакомы ли вы с дифурами? Знакомы ли вы с дифурами в частных производных?

Vince Diesel в сообщении #964350 писал(а):

Насколько я понимаю, это вклад массы газа в гравитацию. А предположим, что массой газа можно пренебречь или объем имеет форму шара. Притяжение в центре ноль, но замедление то должно быть, раз есть энергия-импульс. Или не должно?

Вы знаете, что такое потенциал, например, в электростатике? В ньютоновской теории гравитации - это примерно то же самое (один знак минус и один коэффициент - вот и все отличия).

Вы знаете, что источник (в данном случае энергия-импульс, в электростатике - заряд), напряжённость поля и потенциал соотносятся между собой как вторая, первая и нулевая производные одной функции?

-- 18.01.2015 19:15:14 --

Ну и напоследок:
- знаете ли вы, что если функция равна нулю, то её производная может быть не равна нулю?
- знаете ли вы, что если функция не равна нулю, то её производная может быть равна нулю?

[Munin]

Vince Diesel в сообщении #964350 писал(а):

А то мало ли, если в одном месте время идет не так, как в другом с учетом времени жизни звезды могут быть какие-нибудь эффекты.

В звезде просто текут реакции, примерно как химические реакции в колбе, - только термоядерные. Поэтому от разницы времени никаких особых последствий не происходит, только концентрации веществ (реагентов и продуктов) немножко меняются.

Вот если бы в центре звезды сидели мудрецы, и вели бы хроники, и на поверхности звезды тоже, то за миллиард лет существования звезды они бы заметили, что их хроники различаются на порядка тысячи лет. Разумеется, это если бы они считали дни по своим собственным часам, а не по каким-то внешним событиям типа восходов и заходов какого-то внешнего небесного тела.

[Vince Diesel]

Ага. Готовый ответ таки есть Я правильно понял, что в время идет помедленнее в центре?

[Munin]

Vince Diesel в сообщении #964449 писал(а):

Я правильно понял, что в время идет помедленнее в центре?

Ох! Если это всё, что вы хотели знать, то так и надо было спросить!

Да, в центре медленнее. Потому что центр глубже в гравитационной потенциальной яме.

-- 18.01.2015 21:07:00 --

Vince Diesel в сообщении #964449 писал(а):

Готовый ответ таки есть :-)

А разве лучше получить готовый ответ, и не понять ничего в том, откуда он происходит?

[Dyaus_Pitar]

Munin писал(а):

Ну и напоследок:
- знаете ли вы, что если функция равна нулю, то её производная может быть не равна нулю?
- знаете ли вы, что если функция не равна нулю, то её производная может быть равна нулю?

А я всегда считал, что производная от константы равна нулю, хотя может Вы складывание другой смысл в слова " Функция равна нулю".

[Munin]

Dyaus_Pitar в сообщении #964611 писал(а):

А я всегда считал, что производная от константы равна нулю, хотя может Вы складывание другой смысл в слова " Функция равна нулю".

Речь о равенстве функции нулю в точке.

[мат-ламер]

Vince Diesel в сообщении #964227 писал(а):

Чисто интересно, где быстрее время идет?

Пусть два наблюдателя, один на поверхности звезды, другой в центре, обмениваются радиосигналами. Естественно, наблюдателю на поверхности кажется, что время у наблюдателя в центре течёт замедленно. (Вращением звезды пренебрегаем).

[green5]

Для наблюдателя на Земле замедление не так уж и мало ?
Порядка $1+1km/R_{Sun} = 1+10^{-6}$.
То есть спектр Солнца (что мы видим) сдвинут.

[DimaM]

green5 в сообщении #983649 писал(а):

То есть спектр Солнца (что мы видим) сдвинут.

Только этот сдвиг маленький на фоне доплеровского размазывания при температуре 6000 К.