2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Помогите решить задачу по случайным процессам
Сообщение17.01.2015, 18:29 
Привести пример мартингала $ (X_t)_{t=0}^\infty $ такого, что $ (X_t)$ не является процессом с независимыми приращениями

Пусть $\xi_n, n\in\mathbb{N}$ - независимые действительные величины и $E\xi_n = 1\ \forall n. & Пусть также $X_n = \prod\limits_{k=1}^{n}\xi_k, \mathcal{F}_n =\sigma(\xi_1, ..., \xi_n), n \in\mathbb{N}.$ Тогда $(X_n, \mathcal{F}_n)_{n\in\mathbb{N}}$ - мартингал, т.к, очевидно, $E|X_n| < \infty$ и $E[X_{n+1}|X_1, ..., X_n] = X_n$.
Далее проверим независимость приращений, т.е положим $n > m$ и расмотрим $P(X_n - X_{n-1} \in A, X_m - X_{m-1} \in B).$
Это равно:
$\\P(\prod\limits_{k=1}^{n}\xi_k - \prod\limits_{k=1}^{n-1}\xi_k\in A, \prod\limits_{k=1}^{m}\xi_k - \prod\limits_{k=1}^{m-1}\xi_k\in B) =\\ P((\xi_n - 1)\prod\limits_{k=1}^{n-1}\xi_k \in A, (\xi_m - 1)\prod\limits_{k=1}^{m-1}\xi_k \in B) =\\ P((\xi_n - 1)\prod\limits_{k=1}^{m-1}\xi_k\prod\limits_{j=m}^{n-1}\xi_j \in A, (\xi_m - 1)\prod\limits_{k=1}^{m-1}\xi_k \in B) $
Случайная величина $\prod\limits_{k=1}^{m-1}\xi_k\in C$\subseteq\mathbb{R}^{m-1}\Rightarrow A\cap B = C $ - это значит, что приращения зависимы.
На первый взгляд, кажется правильно, но не уверен

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение17.01.2015, 18:37 
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение17.01.2015, 23:25 
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 
 
 
 Re: Помогите решить задачу по случайным процессам
Сообщение18.01.2015, 00:25 
Аватара пользователя
dnlnzrv в сообщении #963643 писал(а):
Случайная величина $\prod\limits_{k=1}^{m-1}\xi_k\in C$\subseteq\mathbb{R}^{m-1}\Rightarrow A\cap B = C $ - это значит, что приращения зависимы.

В этой фразе почти нет верных высказываний.
1) Никакого $C$ нет.
2) $\prod\limits_{k=1}^{m-1}\xi_k\in \mathbb R\not\subseteq\mathbb{R}^{m-1}$.
3) Из того, что выполнены оба события под знаком последней вероятности, никак не следует, что $\prod\limits_{k=1}^{m-1}\xi_k\in A\cap B$, так же как и наоборот.

Вы же пример строите - к чему такая общность? Возьмите конкретные случайные величины с максимально простыми распределениями, конкретные максимально маленькие $n$ и $m$ и конкретные $A$ и $B$.

 
 
 
 Re: Помогите решить задачу по случайным процессам
Сообщение18.01.2015, 01:02 
Но нужно же доказать независимость любых приращений, если я возьму какие-то минимальные m и n, то буду доказывать для конкретного приращения, а это частный случай, разве не так? И второй вопрос: верно ли вообще выбран пример?

 
 
 
 Re: Помогите решить задачу по случайным процессам
Сообщение18.01.2015, 01:14 
dnlnzrv в сообщении #963908 писал(а):
а это частный случай, разве не так?

А разве пример - это общий случай?

 
 
 
 Re: Помогите решить задачу по случайным процессам
Сообщение18.01.2015, 01:19 
Otta в сообщении #963911 писал(а):
dnlnzrv в сообщении #963908 писал(а):
а это частный случай, разве не так?

А разве пример - это общий случай?


Я имел ввиду, что я не имею права брать конкретные n и m, иначе буду доказывать, что конкретные два приращения независимы. А нужно показать, что любые приращения независимы.

-- 18.01.2015, 01:57 --

Я понял. Нужно же показать, что не является процессом с независимыми приращениями

 
 
 
 Re: Помогите решить задачу по случайным процессам
Сообщение18.01.2015, 16:13 
Пусть $\forall n\in \mathbb{N}\ \xi_n = \left\{
\begin{array}{rcl}
 &2,\ P = \frac{1}{2}& \\
 &0,\ P = \frac{1}{2}& \\
\end{array}
\right. $
Тогда, очевидно $E\xi_n = 1$
Возьмем $n  = 2, m = 1.$ Тогда
$\\P(X_n - X_{n-1}\in A, X_m - X_{m-1}\in B) = P(X_2-X_1\in A, X_1\in B) =\\ P(\xi_1(\xi_2-1)\in A,\xi_1\in B)$
Пусть теперь $B=\left\lbrace0\right\rbrace, A = \left\lbrace2\right\rbrace $. Получим
$0 = P(\xi_1(\xi_2-1) = 2,\xi_1 = 0) \ne P(\xi_1(\xi_2-1) = 2)\cdot P(\xi_1 = 0)$ = $\frac{1}{4}$$\cdot$$\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{8}$
Следовательно, эти два приращения зависимы. Значит мартингал $(X_n)_{n=0}^\infty$ не является процессом с независимыми приращениями.

Теперь вроде правильно.

 
 
 
 Re: Помогите решить задачу по случайным процессам
Сообщение18.01.2015, 20:04 
Аватара пользователя
Да, конечно.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group