Помогите решить задачу по случайным процессам

[dnlnzrv]

Привести пример мартингала $ (X_t)_{t=0}^\infty $ такого, что $ (X_t)$ не является процессом с независимыми приращениями

Пусть $\xi_n, n\in\mathbb{N}$ - независимые действительные величины и $E\xi_n = 1\ \forall n. & Пусть также $X_n = \prod\limits_{k=1}^{n}\xi_k, \mathcal{F}_n =\sigma(\xi_1, ..., \xi_n), n \in\mathbb{N}.$ Тогда $(X_n, \mathcal{F}_n)_{n\in\mathbb{N}}$ - мартингал, т.к, очевидно, $E|X_n| < \infty$ и $E[X_{n+1}|X_1, ..., X_n] = X_n$.
Далее проверим независимость приращений, т.е положим $n > m$ и расмотрим $P(X_n - X_{n-1} \in A, X_m - X_{m-1} \in B).$
Это равно:
$\\P(\prod\limits_{k=1}^{n}\xi_k - \prod\limits_{k=1}^{n-1}\xi_k\in A, \prod\limits_{k=1}^{m}\xi_k - \prod\limits_{k=1}^{m-1}\xi_k\in B) =\\ P((\xi_n - 1)\prod\limits_{k=1}^{n-1}\xi_k \in A, (\xi_m - 1)\prod\limits_{k=1}^{m-1}\xi_k \in B) =\\ P((\xi_n - 1)\prod\limits_{k=1}^{m-1}\xi_k\prod\limits_{j=m}^{n-1}\xi_j \in A, (\xi_m - 1)\prod\limits_{k=1}^{m-1}\xi_k \in B) $
Случайная величина $\prod\limits_{k=1}^{m-1}\xi_k\in C$\subseteq\mathbb{R}^{m-1}\Rightarrow A\cap B = C $ - это значит, что приращения зависимы.
На первый взгляд, кажется правильно, но не уверен

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[--mS--]

dnlnzrv в сообщении #963643 писал(а):

Случайная величина $\prod\limits_{k=1}^{m-1}\xi_k\in C$\subseteq\mathbb{R}^{m-1}\Rightarrow A\cap B = C $ - это значит, что приращения зависимы.

В этой фразе почти нет верных высказываний.
1) Никакого $C$ нет.
2) $\prod\limits_{k=1}^{m-1}\xi_k\in \mathbb R\not\subseteq\mathbb{R}^{m-1}$.
3) Из того, что выполнены оба события под знаком последней вероятности, никак не следует, что $\prod\limits_{k=1}^{m-1}\xi_k\in A\cap B$, так же как и наоборот.

Вы же пример строите - к чему такая общность? Возьмите конкретные случайные величины с максимально простыми распределениями, конкретные максимально маленькие $n$ и $m$ и конкретные $A$ и $B$.

[dnlnzrv]

Но нужно же доказать независимость любых приращений, если я возьму какие-то минимальные m и n, то буду доказывать для конкретного приращения, а это частный случай, разве не так? И второй вопрос: верно ли вообще выбран пример?

[Otta]

dnlnzrv в сообщении #963908 писал(а):

а это частный случай, разве не так?

А разве пример - это общий случай?

[dnlnzrv]

Otta в сообщении #963911 писал(а):

dnlnzrv в сообщении #963908 писал(а):

а это частный случай, разве не так?

А разве пример - это общий случай?

Я имел ввиду, что я не имею права брать конкретные n и m, иначе буду доказывать, что конкретные два приращения независимы. А нужно показать, что любые приращения независимы.

-- 18.01.2015, 01:57 --

Я понял. Нужно же показать, что не является процессом с независимыми приращениями

[dnlnzrv]

Пусть $\forall n\in \mathbb{N}\ \xi_n = \left\{ \begin{array}{rcl} &2,\ P = \frac{1}{2}& \\ &0,\ P = \frac{1}{2}& \\ \end{array} \right. $
Тогда, очевидно $E\xi_n = 1$
Возьмем $n = 2, m = 1.$ Тогда
$\\P(X_n - X_{n-1}\in A, X_m - X_{m-1}\in B) = P(X_2-X_1\in A, X_1\in B) =\\ P(\xi_1(\xi_2-1)\in A,\xi_1\in B)$
Пусть теперь $B=\left\lbrace0\right\rbrace, A = \left\lbrace2\right\rbrace $. Получим
$0 = P(\xi_1(\xi_2-1) = 2,\xi_1 = 0) \ne P(\xi_1(\xi_2-1) = 2)\cdot P(\xi_1 = 0)$ = $\frac{1}{4}$$\cdot$$\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{8}$
Следовательно, эти два приращения зависимы. Значит мартингал $(X_n)_{n=0}^\infty$ не является процессом с независимыми приращениями.

Теперь вроде правильно.

[--mS--]

Да, конечно.